Test de Shapiro-Wilk

En statistique, le test de Shapiro–Wilk teste l'hypothèse nulle selon laquelle un échantillon $x_1,\dots ,x_n$ est issu d'une population normalement distribuée. Il a été publié en 1965 par Samuel Sanford Shapiro et Martin Wilk.

Théorie

La statistique de test $W$ est:

$W=\frac{{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right)}^2}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$

où

• x_(i) (avec des parenthèses entourant l'indice i) désigne la ième statistique d'ordre, i.e., le ième plus petit nombre dans l'échantillon;
• $\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)$ est la moyenne de l'échantillon;
• la constante a_i est donnée par Modèle:Sfn

$(a_1,\dots ,a_n)=\frac{m^{\mathrm{\top }}{V}^{-1}}{(m^{\mathrm{\top }}{V}^{-1}{V}^{-1}m{)}^{1/2}}$

où

$m=(m_1,\dots ,m_n{)}^{\mathrm{\top }}$

et $m_1,\dots ,m_n$ sont les espérances des statistiques d'ordre d'un échantillon de variables iid suivant une loi normale, et V est la matrice de variance-covariance de ces statistiques d'ordre.

Pour conclure, $W$ est alors comparé à une tableModèle:Sfn.

Interprétation

Sachant que l'hypothèse nulle est que la population est normalement distribuée,

• si la p-value est inférieure à un niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors l'hypothèse nulle est rejetée (i.e. il est improbable d'obtenir de telles données en supposant qu'elles soient normalement distribuées).
• si la p-value est supérieure au niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors on ne doit pas rejeter l'hypothèse nulle. La valeur de la p-value alors obtenue ne présuppose en rien de la nature de la distribution des données.

Voir aussi Q-Q plot ou droite de Henry.

Mise en œuvre

• shapiro.test() avec R.

Voir aussi

• Loi normale
• Test de Kolmogorov-Smirnov
• Droite de Henry

Liens externes

• Algorithm AS R94 (Shapiro Wilk) FORTRAN code
• Shapiro–Wilk Normality Test in CRAN
• Shapiro–Wilk Normality Test in QtiPlot
• How do I interpret the Shapiro-Wilk test for normality?
• Online version of the Shapiro-Wilk test
• Test de Shapiro avec R
• Test de Shapiro avec Python