Pont brownien

Simulations de deux ponts browniens standard indépendants (en rouge et en vert)

En mathématique, plus précisément théorie des probabilités, un pont brownien standard est un processus stochastique à temps continu de même loi qu'un processus de Wiener mais conditionné à s'annuler en 0 et en 1. À ne pas confondre avec l'excursion brownienne.

Le pont brownien standard est ainsi également appelé « mouvement brownien attaché » ("tied down Brownian motion" en anglais), « mouvement brownien attaché en 0 et 1 » ("Brownian motion tied down at 0 and 1" en anglais) ou « mouvement brownien épinglé » ("pinned Brownian motion" en anglais).

Le pont brownien (non standard) est une généralisation du pont brownien standard en utilisant le conditionnement par l’événement $[B_{t_1}=a,B_{t_2}=b]$.

Définition

Un pont brownien standard est un processus stochastique $(B_t,t\ge 0)$ à temps continu dont la loi est celle d'un processus de Wiener (modèle mathématique du mouvement brownien) sachant l’événement $B_0=B_1=0$. Il s'agit d'un processus aléatoire gaussien, c'est-à-dire que la loi de probabilité de tout vecteur $(B_{t_1},...,B_{t_n})$, conditionnellement à $B_1=0$, est gaussienne. Il est alors caractérisé par sa moyenne et sa covariance :

$\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }0\le t\le 1,& 𝔼[B_t|B_1=0]=0\\ \mathrm{\forall }0\le s<t\le 1,& \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(B_s,B_t|B_1=0)=s(1-t).\end{array}$

Remarque : l'événement $[B_1=0]$ est de probabilité nulle. Considérons alors l’événement $\{|B_1|<\epsilon \}$ de probabilité non nulle. On peut ainsi considérer la loi conditionnelle $\mathbb{P}[\cdot ||B_1|<\epsilon ]$ du mouvement brownien sachant $|B_1|<\epsilon$. La convergence en loi suivante (propriété 12.3.2. du livre de R. Dudley):

$\mathbb{P}[\cdot ||B_1|<\epsilon ]\underset{\epsilon \to 0}{⟶}\mathbb{P}[\cdot ||B_1|=0]$

permet de donner un sens rigoureux à la définition du pont brownien.

Relations avec d'autres processus stochastiques

Relations avec le mouvement brownien

Propriété 1

Si $(W_t,t\ge 0)$ est un processus de Wiener (ou mouvement brownien), alors le processus $(B_t,0\le t\le 1)$ défini par $B_t=W_t-t{W}_1$ est un pont brownien standard.

Réciproque

Si $(B_t,0\le t\le 1)$ est un pont brownien standard et Z une variable aléatoire normale, alors les processus $(W_t^1,0\le t\le 1)$ et $(W_t^2,0\le t\le T)$ définis par :

$\mathrm{\forall }0\le t\le 1,W_t^1=B_t+tZ\text{et}\mathrm{\forall }0\le t\le T,W_t^2=B_{\frac{t}{T}}+\frac{t}{T}Z$

sont des processus de Wiener.

Propriété 2

Si $(W_t,t\ge 0)$ est un processus de Wiener, alors le processus $(B_t,0\le t\le 1)$ défini par $B_t=(1-t)W_{\frac{t}{1-t}}$ est un pont brownien standard.

Réciproque

Si $(B_t,0\le t\le 1)$ est un pont brownien standard, alors le processus $(W_t,t\ge 0)$ défini par $W_t=(1+t)B_{\frac{t}{1+t}}$ est un processus de Wiener.

Relations avec l'excursion brownienne

en haut : simulation d'un pont brownien standard (en utilisant la Propriété 1). Le changement de couleur correspond à l'emplacement du minimum.
en bas : simulation de l'excursion brownienne associée (en utilisant la Propriété 3).

Le pont brownien et l'excursion brownienne sont deux objets mathématiques différents mais l'un peut se construire à partir de l'autre.

Définissons la transformée de Verwaat $V(f,T,\sigma )$ d'une fonction continue $f:[0,T]\to ℝ$ par

$V(f,T,\sigma )(t)=\{\begin{array}{cc}f(\sigma +t)-f(\sigma )& \text{si}0\le t\le T-\sigma \\ f(\sigma +t-T)-f(\sigma )& \text{si}T-\sigma \le t\le T.\end{array}$

Intuitivement, la trajectoire de $V(f,T,\sigma )$ est celle de $f$ sur $[0,T]$ mais coupée au temps $\sigma$ et où les deux parties sont inversées.

Propriété 3

Supposons que$(B_t,0\le t\le 1)$ désigne un pont brownien standard et $\xi$ le temps aléatoire (presque sûrement unique) où $B$ atteint son minimum. Alors le processus $(e(t),0\le t\le 1)$ défini par $e(t)=V(B,1,\xi )(t)$ a pour la loi celle de l'excursion normalisée du mouvement brownien. De plus $\xi$ est indépendante de $e$ et est de loi uniforme sur $[0,1]$.

Intuitivement, l'excursion brownienne normalisée est construite à partir d'un pont brownien en le coupant en son minimum et en inversant les deux parties obtenues.

Réciproque

Supposons que$(e(t),0\le t\le 1)$ désigne une excursion normalisée du mouvement brownien et $\eta$ une variable aléatoire indépendante de $e$ et de loi uniforme sur $[0,1]$. Alors le processus $(B_t,0\le t\le 1)$ défini par $B_t=V(e,1,\eta )(t)$ a pour loi celle du pont brownien. De plus $1-\eta$ est l'unique temps en lequel $B$ atteint son minimum.

Expression sous forme de diffusion

Le pont brownien peut être exprimé comme un processus de diffusion. En effet, si $W$ est un mouvement brownien standard, la solution de l'équation différentielle stochastique :

$d{X}_t=d{W}_t-\frac{X_t}{1-t}dt$

munie de la condition initiale $X_0=0$ a la même loi que le pont brownien. Notamment, le processus $X$ est markovien, ce qui n'est pas clair à partir de la définition de $X$ comme mouvement brownien conditionné par sa valeur finale.

Relation avec le processus empirique

D'après le théorème de Donsker, si les variables $(X_1,\dots ,X_n)$ sont indépendantes identiquement distribuées de loi uniforme sur $[0,1]$, le processus empirique

${\alpha }_n(t)=\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathrm{𝟏}}_{\{X_i\le t\}}-t)$

converge en loi vers le pont brownien.

Propriétés

$(B_t,0\le t\le 1)$ désigne un pont brownien standard.

Propriété 4 (temps d'atteinte)

Soit $b$ un nombre réel alors

$\mathbb{P}[\text{il existe }t\in [0,1]\text{ tel que }{B}_t=b]=e^{-2b^2}.$

Propriété 5 (loi du supremum)

Soit $b$ un nombre réel strictement positif alors

$\mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{\sup }|B_t|\ge b]=2\sum _{n\ge 1}(-1{)}^{n-1}{e}^{-2n^2{b}^2}.$

C'est cette propriété qui est à l'origine du test de Kolmogorov-Smirnov.

Propriété 6

Soient $a,b$ deux nombres réels strictement positifs alors

$\mathbb{P}[-a<B_t<b,\mathrm{\forall }0\le t\le 1]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[e^{-2m^2(a+b{)}^2}-e^{-2((m+1)a+mb{)}^2}].$

Propriété 7

Soit $x$ un nombre réel strictement positif alors

$\mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{\sup }{B}_t-\underset{t\in [0,1]}{\inf }{B}_t\ge x]=2\sum _{m\ge 1}(4m^2{x}^2-1)e^{-2m^2{x}^2}.$

Généralisation

Il est possible de généraliser la définition du pont brownien pour que ce dernier soit indexé par des classes de fonctions. Soit $ℱ$ une classe de fonctions mesurables définies sur $(𝒳,𝒜)$ à valeurs réelles et $X$ une variable aléatoire de loi $P={\mathbb{P}}^X$ définies sur un espace de probabilité $(\mathrm{\Omega },𝒯,\mathbb{P})$ à valeurs dans $(𝒳,𝒜)$. On note $𝔾$ le $P$-pont brownien indexé par cette classe de fonctions, c'est-à-dire l'unique processus gaussien centrée dont la fonction de covariance est donnée par

$\mathrm{\forall }f,g\in ℱ,\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝔾(f),𝔾(g))=𝔼[f(X)g(X)]-𝔼[f(X)]𝔼[g(X)].$

Le pont brownien standard est donc le pont brownien indexé par la classe des fonctions indicatrices $ℱ=\{x\mapsto {\mathrm{𝟏}}_{\{x\le t\}}:t\in ℝ\}.$

Si le processus empirique indexé par une classe de fonctions $ℱ$ converge en loi vers le pont brownien indexé par cette même classe de fonctions, alors cette classe est appelée est une classe de Donsker.