Processus gaussien

En théorie des probabilités et en statistiques, un processus gaussien est un processus stochastique (une collection de variables aléatoires avec un index temporel ou spatial) de telle sorte que chaque collection finie de ces variables aléatoires suit une loi normale multidimensionnelle ; c'est-à-dire que chaque combinaison linéaire est normalement distribuée. La distribution d'un processus gaussien est la loi jointe de toutes ces variables aléatoires. Ses réalisations sont donc des fonctions avec un domaine continu.

Définition

Un processus stochastique Modèle:Formule sur un ensemble de sites Modèle:Formule est dit gaussien si, pour toute partie finie Modèle:Formule et toute suite réelle Modèle:Formule sur Modèle:Formule, $\sum _{s\in A}{a}_s{X}_s$ est une variable gaussienne, autrement dit si $(X_s{)}_{s\in A}$ est un vecteur gaussien.

De ce fait, la loi d'un processus gaussien est entièrement déterminée par sa fonction moyenne $m(t)=𝔼[X_t]$ et son opérateur de covariance $K(s,t)=Cov(X_s,X_t)$.

Posant Modèle:Formule et Modèle:Formule la moyenne et la covariance de Modèle:Formule sur Modèle:Formule, si Modèle:Formule est inversible, alors Modèle:Formule admet pour densité (ou vraisemblance) par rapport à la mesure de Lebesgue sur Modèle:Formule : Modèle:Retrait

Processus gaussien en régression

Les méthodes par processus gaussien peuvent être utilisées dans les problèmes de régression.

Le résultat principal intervient lorsque l'on cherche à estimer une fonction $f:\chi \to ℝ$ dont on a observe $n$ réalisations $(x_i,f_i{)}_{i\in \{1,...,n\}}$, on note $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ...\\ x_n\end{array}\right)$. On peut modéliser la fonction $f$ par un processus gaussien $Y$ de moyenne $m$ et de fonction de covariance $K$ qui vérifie $Y(x_i)=f_i$. Pour $n^{*}$nouveau point de l'espace de départ $\chi$ on note $X^{*}=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{*}\\ ...\\ (x_{n^{*}}{)}^{*}\end{array}\right)$ et on a:

$\left(\begin{array}{c}Y(X)\\ Y(X^{*})\end{array}\right)\sim 𝒩(\left(\begin{array}{c}m(X)\\ m(X^{*})\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}K(X,X)& K(X,X^{*})\\ K(X^{*},X)& K(X^{*},X^{*})\end{array}\right))$.

Voir aussi

• Processus de Gauss