Octacontagone

Un octacontagone est un polygone à 80 sommets, donc 80 côtés et Modèle:Unité.

La somme des angles internes d'un octacontagone non croisé vaut Modèle:Unité.

L'octacontagone régulier est constructible.

Octacontagones réguliers

Un octacontagone régulier est un octacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a seize : quinze étoilés (notés {80/k} pour k impair de 3 à 39 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {80}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octacontagone régulier ».

Les seize octacontagones réguliers

Représentation	{80}	{80/3}	{80/7}	{80/9}	{80/11}	{80/13}	{80/17}	{80/19}
Angle interne	175,5°	166,5°	148,5°	139,5°	130,5°	121,5°	103,5°	94,5°
Représentation	{80/21}	{80/23}	{80/27}	{80/29}	{80/31}	{80/33}	{80/37}	{80/39}
Angle interne	85,5°	76,5°	58,5°	49,5°	40,5°	31,5°	13,5°	4,5°

Caractéristiques de l'octacontagone régulier

Chacun des 80 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{80}=4,5^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{14040^{\circ }}{80}=175,5^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=80a$ ;
• l'aire vaut $A=20a^2\cot \left(\frac{\pi }{80}\right)$ ;
• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{80}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{80}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{80}\right)}$.

Constructibilité

L'octacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du tétracontagone. On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 80 est le produit de 16 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).