Équation de Liouville

En géométrie différentielle, l’équation de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est une équation aux dérivées partielles non linéaire satisfaite par le facteur conforme $f$ d'une métrique $f^2(d{x}^2+d{y}^2)$ sur une surface de courbure de Gauss constante K :

$\mathrm{\Delta }\log f=-K{f}^2,$

où $\mathrm{\Delta }$ est l'opérateur de Laplace.

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=4\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$

Solution générale

Dans un Modèle:Page h' simplement connexe $\mathrm{\Omega }$, la solution générale est donnée par :

$u(z,\overline{z})=\frac{1}{2}\ln \left(4\frac{|\mathrm{d}f(z)/\mathrm{d}z{|}^2}{(1+K|f(z){|}^2{)}^2}\right)$

où $f$ est une fonction fonction méromorphe localement univalente et $1+K|f(z){|}^2$Modèle:Quoi quand $K<0$.

Voir aussi

Équations de Gauss-Codazzi