Fonction univalente

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.

Exemples

Toute transformation de Möbius ${\varphi }_a$ d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, ${\varphi }_a(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z},$ où $|a|\le 1,$ est univalente.

Propriétés

On peut démontrer que si $G$ et $\mathrm{\Omega }$ sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et

$f:G\to \mathrm{\Omega }$

est une fonction univalente tel que $f(G)=\mathrm{\Omega }$ (c'est-à-dire que $f$ est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de $f$ ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,

$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(z))=\frac{1}{f^{\prime }(z)}$

pour tous $z$ dans $G$

Comparaison avec les fonctions réelles

Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction

$f:(-1,1)\to (-1,1)$

donnée par ƒ(x) = x³, cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier  (−1, 1).

Bibliographie

• John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978 Modèle:ISBN
• John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1996 Modèle:ISBN.