Équation de Burgers

L'équation de Burgers est une équation aux dérivées partielles issue de la mécanique des fluides. Elle apparaît dans divers domaines des mathématiques appliquées, comme la modélisation de la dynamique des gaz, de l'acoustique ou du trafic routier. Elle doit son nom à Johannes Martinus Burgers qui l'a discutée en 1948. Elle apparaît dans des travaux antérieurs du mathématicien Andrew Forsyth et d'Harry Bateman.

Formulation

En notant Modèle:Mvar la vitesse, et Modèle:Mvar le coefficient de viscosité cinématique, la forme générale de l'équation de Burgers est :

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$.

Quand Modèle:Math, l'équation de Burgers devient l'équation de Burgers sans viscosité :

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0$,

La matrice jacobienne de cette équation se réduit à la quantité scalaire Modèle:Mvar, valeur réelle. Il s'agit donc d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique. Elle peut donc comporter des discontinuités (ondes de choc).

La forme conservative de cette équation est :

$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial x}\left(u^2\right)=0$

Équation sans viscosité

Solution de l'équation de Burgers à partir d'un profil sinusoïdal.

Solution régulière

Par la méthode des caractéristiques

On cherche une ligne caractéristique Modèle:Math le long de laquelle l'équation de Burgers se réduit à une équation différentielle ordinaire. Calculons la dérivée de Modèle:Mvar le long d'une telle courbe :

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}u[x(s),t(s)]}{\mathrm{d}s}& =0\\ [1em]& =& \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\frac{\partial u}{\partial x}\end{array}$

On identifie l'équation de Burgers en faisant (on suppose Modèle:Math):

$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1\Rightarrow t(s)=s$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}=u\Rightarrow x(s)=x_0+us=x_0+ut$

Les caractéristiques dans le plan Modèle:Math sont des droites de pente Modèle:Mvar le long desquelles la solution est constante.

La valeur en un point Modèle:Math s'obtient en "remontant" la caractéristique jusqu'à son origine Modèle:Math. Cette valeur est Modèle:Math.

Méthode utilisant un ansatz

On peut donner une solution générale sous la forme

$u(x,t)=f(w)$

où Modèle:Mvar est une fonction quelconque de la variable Modèle:Mvar.

On note $f^{\prime }=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}w}$

Si on reporte dans l'équation de Burgers il vient :

$(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x})(1+t{f}^{\prime })=0$

Modèle:Mvar est donc solution sauf si le second terme de l'équation s'annule.

La dérivée de Modèle:Mvar s'écrit :

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime }}{1+t{f}^{\prime }}$

La fonction Modèle:Mvar devient singulière pour Modèle:Math, point d'intersection des caractéristiques. Au-delà la solution régulière de l'équation n'a plus de sens physique puisque la solution est multivaluée.

Quantité conservative

Intégrons l'équation sous forme conservative de Modèle:Mvar à Modèle:Mvar :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\mathrm{d}x=\frac{u_a^2}{2}-\frac{u_b^2}{2}\mathrm{\forall }a,b$

Si Modèle:Mvar s'annule à deux bornes finies (problème périodique) ou infinies alors :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\mathrm{d}x=0$

Dans un système fermé la quantité $\int u\mathrm{d}x$ est conservée au cours du temps.

La discontinuité

Pour un système d'équations hyperbolique écrit sous la forme

$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial g(u)}{\partial x}=0$

la vitesse de propagation d'un choc est donné par l'équation de Rankine-Hugoniot

$c=\frac{\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }u}$

Dans notre cas $g=\frac{u^2}{2}$, d'où

$c=\frac{\frac{u_G^2}{2}-\frac{u_D^2}{2}}{u_G-u_D}=\frac{u_G+u_D}{2}$

où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont les vitesses de part et d'autre du choc.

Équation avec viscosité

On peut transformer cette équation en utilisant la transformation de Hopf-ColeModèle:, :

$u=-\frac{2\nu }{\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial x}$

En portant dans l'équation il vient :

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\nu }{\varphi }\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\right)$

Par intégration par rapport à Modèle:Mvar il s'introduit une "constante" d'intégration fonction du temps que l'on note Modèle:Math, déterminée par les conditions aux limites :

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+g(t)\varphi$

Le nouveau changement de variable Modèle:Math permet d'écrire :

$\frac{\partial \psi }{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}$

On obtient une équation de diffusion analogue à l'équation de la chaleur pour laquelle il existe des solutions analytiques.

Liens externes

• Modèle:En Leon van Dommelen, The Inviscid Burger's Equation [1]
• Modèle:En Burgers' Equation, Institut für Theoretische Physik, Münster [2]
• Modèle:En NEQwiki Burgers' Equation
• Modèle:En John Burkardt, 40 Solutions of the Burgers Equation (codes sous licence GNU)[3]

Articles connexes

• Équation de Korteweg-de Vries
• Équations de Navier-Stokes
• Équations d'Euler
• Mécanique des fluides numérique