Équation aux dérivées partielles hyperbolique

En mathématiques, un problème hyperbolique ou équation aux dérivées partielles hyperbolique est une classe d'équations aux dérivées partielles (EDP) modélisant des phénomènes de propagation, émergeant par exemple naturellement en mécanique. Un archétype d'équation aux dérivées partielles hyperbolique est l'équation des ondes :

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-c^2\mathrm{\Delta }u=0.$

Les solutions des problèmes hyperboliques possèdent des propriétés ondulatoires. Si une perturbation localisée est faite sur la donnée initiale d'un problème hyperbolique, alors les points de l'espace éloignés du support de la perturbation ne ressentiront pas ses effets immédiatement. Relativement à un point espace-temps fixe, les perturbations ont une vitesse de propagation finie et se déplacent le long des caractéristiques de l'équation. Cette propriété permet de distinguer les problèmes hyperboliques des problèmes elliptiques ou paraboliques, où les perturbations des conditions initiales (ou de bord) auront des effets instantanés sur tous les points du domaine.

Bien que la définition de l'hyperbolicité soit fondamentalement qualitative, il existe des critères précis qui dépendent de la famille d'équations aux dérivées partielles considérées.

Définition

Une équation aux dérivées partielles est hyperbolique en un point P si le problème de Cauchy est uniquement résoluble dans un voisinage de P pour toute donnée initiale fixée sur une hypersurface non caractéristique contenant P.

Exemples

L'équation des ondes :

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-c^2\mathrm{\Delta }u=0$

est un problème hyperbolique, quelle que soit la dimension.

Par un changement linéaire de variables, toute équation de la forme

$A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}=F(u_x,u_y,u)$

avec F une fonction régulière et A,B,C des coefficients réels vérifiant:

$B^2-AC>0$

peut être transformée en équation des ondes, aux termes d'ordres inférieurs près qui ne sont pas représentatifs de la nature de l'équation. Cette définition est à rapprocher de celle de la conique hyperbole.

Ce genre de problèmes hyperboliques du second ordre peuvent se transformer en un système hyperbolique d'équations différentielles du premier ordre tels que ceux considérés dans la suite de cet article.

Système hyperbolique d'équations aux dérivées partielles

Soit le système suivant de Modèle:Math équations aux dérivées partielles du premier ordre pour Modèle:Math fonctions inconnues $\overrightarrow{u}=(u_1,\dots ,u_s)$, $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}(\overrightarrow{x},t)$, avec $\overrightarrow{x}\in {ℝ}^d$

$(*)\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t}+\sum _{j=1}^d\frac{\partial }{\partial x_j}\overrightarrow{f^j}(\overrightarrow{u})=0,$

avec $\overrightarrow{f^j}\in C^1({ℝ}^s,{ℝ}^s),j=1,\dots ,d$ sont des fonctions continûment dérivables, non linéaires en général.

On pose ensuite pour chaque $\overrightarrow{f^j}$ la matrice jacobienne $s\times s$

$A^j:=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1^j}{\partial u_1}& \cdots & \frac{\partial f_1^j}{\partial u_s}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_s^j}{\partial u_1}& \cdots & \frac{\partial f_s^j}{\partial u_s}\end{array}\right),\text{ pour }j=1,\dots ,d$.

Ainsi, le système $(*)$ se réécrit :

$\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t}+\sum _{j=1}^d{A}^j\cdot \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial x_j}=0$.

Ce système est dit hyperbolique si pour tout ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_d\in ℝ$, la matrice $A:={\alpha }_1{A}^1+\cdots +{\alpha }_d{A}^d$ a des valeurs propres réelles et est diagonalisable.

Si la matrice A a des valeurs propres réelles deux à deux distinctes, elle est alors diagonalisable, et on parle alors de système strictement hyperbolique.

Systèmes hyperboliques et lois de conservation

Il y a un lien fort entre les problèmes hyperboliques et les équations de conservation. Considérons un problème hyperbolique scalaire (Modèle:Math) pour la fonction $u=u(\overrightarrow{x},t)$. On a alors

$(**)\frac{\partial u}{\partial t}+\sum _{j=1}^d\frac{\partial }{\partial x_j}{f}^j(u)=0,$

L'inconnue Modèle:Math peut être une quantité ayant un flux $\overrightarrow{f}=(f^1,\dots ,f^d)$. Pour montrer que cette quantité est conservée, on intègre sur un domaine $\mathrm{\Omega }$

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\partial u}{\partial t}d\mathrm{\Omega }+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{f}(u)d\mathrm{\Omega }=0.$

Si Modèle:Math et $\overrightarrow{f}$ sont des fonctions assez régulières, le théorème d'Ostrogradski s'applique et on obtient alors une loi de conservation pour Modèle:Math qui s'écrit sous la forme :

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }ud\mathrm{\Omega }+\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\overrightarrow{f}(u)\cdot \overrightarrow{n}d\mathrm{\Gamma }=0.$

Cette équation de bilan indique que la variation dans le volume de référence (premier terme dans l'équation) est égale à la quantité entrant ou sortant à travers le bord (deuxième terme).

Résolution d'un problème hyperbolique scalaire en une dimension

On étudie dans la suite le problème scalaire à une dimension d'espace :

$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0,\mathrm{\forall }(x,t)\in ℝ\times [0;+\mathrm{\infty }[$

Méthodes des caractéristiques

Modèle:Article détaillé En réécrivant la loi de conservation sous forme non conservative

$\frac{\partial u}{\partial t}+c(u)\frac{\partial u}{\partial x}=0,\mathrm{\forall }(x,t)\in ℝ\times [0;+\mathrm{\infty }[$

avec Modèle:Math, il vient que les caractéristiques sont les solutions de la famille d'équations différentielles :

$\frac{d}{dt}{X}_y(t)=c(u(X_y(t),t)),X_y(0)=y.$

Ainsi, u est constante le long des droites $x=y+c(u(y,0))t$, qu'on appelle droites caractéristiques.

Dans le cas où Modèle:Math est linéaire (Modèle:Math), les droites caractéristiques sont parallèles et la solution est donc une propagation de la solution initiale vers l'avant à la vitesse Modèle:Math, sans déformation :

$u(x,t)=u_0(x-ct).$

Cependant, dans le cas général où Modèle:Math n'est pas linéaire, on ne peut garantir l'unicité de la solution à coup sûr, car les caractéristiques peuvent se croiser en un point Modèle:Math. C'est pourquoi on définit la fonction vitesse initiale $c_0=c(u_0)$ afin d'étudier la possibilité que deux caractéristiques issus de deux points différents se croisent en un même temps.

Conditions de Rankine-Hugoniot

Modèle:... Afin de déterminer si une solution régulière par morceaux est solution faible du problème hyperbolique étudié, il faut qu'elle vérifie les conditions de Rankine-Hugoniot : Modèle:Théorème

La courbe Modèle:Math décrit ici le parcours de la discontinuité, et sa dérivée Modèle:Math correspond donc à la vitesse de parcours.

Solutions entropiques

Une solution hyperbolique linéaire admet nécessairement une unique solution. Dans le cas d'une équation hyperbolique non-linéaire, si l'existence de la solution pour temps court est acquise, il peut exister plusieurs solutions. Une manière de choisir une solution parmi les autres est d'imposer que la solution vérifie une inégalité d'entropie. On parle alors de solution entropique.

Plus précisément, les solutions entropiques sont définies de la manière suivante.

Modèle:Énoncé On citera par exemple les couples entropie-flux d'entropie de Kruzhkov, définie pour Modèle:Math réel :

${\eta }_k(u)=|u-k|,q_k(u)=\mathrm{sgn}(u-k)(f(u)-f(k)).$

C'est la fonction Modèle:Math qui fait donc ici office d'équivalent à l'entropie.

Cette notion d'entropie permet de caractériser une solution et donc d'assurer l'unicité de la solution faible correspondante : Modèle:Théorème

Voir aussi

Bibliographie

• Bruno Després, François Dubois, Systèmes hyperboliques de lois de conservation - Application à la dynamique des gaz, Éditions de l'École Polytechnique, 2005
• Modèle:En Modèle:Lien, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002 Modèle:ISBN

Articles connexes

• Équation aux dérivées partielles elliptique
• Équation aux dérivées partielles parabolique
• Opérateur hypoelliptique
• Problème de Riemann
• Équations de Maxwell

Liens externes

• Philippe Helluy, Introduction à la théorie et l'approximation des systèmes hyperboliques
• Philippe Helluy, Approximation des systèmes de loi de conservation hyperboliques
• Jean Fabre, Ondes, 2001
• Modèle:EncycloMath
• Modèle:Lien web
• Modèle:Lien web