Équation aux dérivées partielles parabolique

Modèle:Ébauche En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :

$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(𝐱)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i(𝐱)\frac{\partial f}{\partial x_i}+c(𝐱)f=h(𝐱),𝐱\in U\subset {ℝ}^n$

est dite parabolique en un point donné Modèle:Math de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique $A(𝐱)={\left(a_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}$ des coefficients du second ordre admet n–1 valeurs propres non nulles et de même signe et une valeur propre nulle, le vecteur propre associé à cette dernière, noté ${𝐯}_0(𝐱)$, étant tel que ${𝐯}_0(𝐱)\cdot 𝐛(𝐱)\ne 0$, $𝐛(𝐱)$ désignant le vecteur des n coefficients du premier ordreModèle:,.

Exemple

Un exemple classique d'équation différentielle parabolique est l'équation de la chaleur :

$\frac{\partial T}{\partial t}-D\mathrm{\Delta }T+\frac{S}{\rho C_P}=0$,

où Modèle:Mvar est la diffusivité thermique et Modèle:Mvar la chaleur spécifique à pression constante, S désignant un terme source de production de chaleur, Modèle:Math la température au point Modèle:Math de l'espace et à l'instant Modèle:Mvar.

En effet, dans ce cas la matrice A est donnée par $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& -D& 0& 0\\ 0& 0& -D& 0\\ 0& 0& 0& -D\end{array}\right)$ et admet donc une valeur propre nulle, et trois autres égales à –D et donc de même signe. Par ailleurs le vecteur propre associé à la valeur propre nulle, soit Modèle:Math est clairement non orthogonal au vecteur $𝐛=(1,0,0,0)$.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Maurice Gevrey, Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique, Gauthier-Villars, 1913

Voir aussi

• Équation aux dérivées partielles
• Équation aux dérivées partielles elliptique
• Équation aux dérivées partielles hyperbolique