Flux (mathématiques)

En analyse vectorielle, on appelle flux d'un champ vectoriel deux quantités scalaires analogues, selon qu'on le calcule à travers une surface ou une courbe.

Flux à travers une surface

On appelle flux (ou intégrale de surface) du champ vectoriel $𝐅$ de ${ℝ}^3$ à travers la surface orientée $\mathrm{\Sigma }$ la quantité scalaire

où $\mathrm{d}𝐒$ représente un vecteur normal élémentaire et $\cdot$ le produit scalaire. Si la surface est donnée par le paramétrage $\sigma (u,v)$ (où $u$ et $v$ varient dans un ouvert $\mathrm{\Omega }$), ce vecteur est fourni par

et le flux est alors

Si $\mathrm{\Sigma }$ est une surface fermée (on dit aussi sans bord) entourant un volume $V$ alors le flux peut être déterminé d'une autre manière, en invoquant le théorème de flux-divergence :

Flux à travers une courbe

De la même manière, on définit le flux du champ $𝐅=(P,Q)$ de ${ℝ}^2$ à travers la courbe $\mathrm{\Gamma }$ la quantité

où $\mathrm{d}𝐧=(\mathrm{d}y,-\mathrm{d}x)$ représente un vecteur normal élémentaire. Cela revient à définir le flux de $𝐅$ comme la circulation (ou intégrale curviligne) du champ orthogonal $𝐆=(-Q,P)$ :

avec $\mathrm{d}𝐫=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$. Le flux d'un champ à travers une courbe, à l'inverse de sa circulation, ne dépend que de sa composante normale à la courbe.

Voir aussi

• Flux (physique)
• Intégrale de surface
• Intégrale curviligne
• Champ de vecteurs
• Théorème de Gauss (électromagnétisme) - Permet de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface