Théorème taubérien de Wiener

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème taubérien de Wiener fait référence à plusieurs résultats analogues démontrés par Norbert Wiener en 1932. Ils donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour pouvoir approximer une fonction des [[espace Lp|espaces Modèle:Math ou Modèle:Math]] par des combinaisons linéaires de translatées d'une fonction donnée.

La condition pour l'espace Modèle:Math

Soit Modèle:Math une fonction intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de Modèle:Math, Modèle:Math = Modèle:Math, est dense dans Modèle:Math si et seulement si la transformée de Fourier de Modèle:Math ne s'annule pas dans R.

Reformulation taubérienne

Le résultat suivant, équivalent à l'énoncé précédent, explique pourquoi le théorème de Wiener est un théorème taubérien :

Supposons que la transformée de Fourier de Modèle:Math n'ait pas de zéros réels, et que le produit de convolution Modèle:Math tende vers zéro à l'infini pour une certaine fonction Modèle:Math. Alors le produit de convolution Modèle:Math tend vers zéro à l'infini pour tout Modèle:Math.

Plus généralement, si $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f*h)(x)=A\int f(x)\mathrm{d}x$ pour une certaine fonction Modèle:Math dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, alors on a également $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(g*h)(x)=A\int g(x)\mathrm{d}x$ pour tout Modèle:Math.

Version discrète

Le théorème de Wiener possède un analogue dans Modèle:Math : le sous-espace engendré par les translatées,Modèle:Math est dense si et seulement si la transformée de Fourier discrète $\phi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\theta }$ ne s'annule pas dans R. Les énoncés suivants sont équivalents à ce résultat :

• Soit Modèle:Math une suite dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, et telle que le produit de convolution discret Modèle:Math tend vers 0 à l'infini pour une suite bornée Modèle:Math. Alors il en est de même de Modèle:Math pour toute suite Modèle:Math.
• Soit Modèle:Math une fonction définie sur le cercle unité dont la série de Fourier converge absolument. Alors la série de Fourier de Modèle:Math converge absolument si et seulement si Modèle:Math ne s'annule pas.

Israel Gelfand a montré que ces résultats sont équivalents à la propriété suivante de l'Modèle:Lien Modèle:Math :

• Les idéaux maximaux de Modèle:Math sont tous de la forme $M_x=\{f\in A(𝕋)\mid f(x)=0\},x\in 𝕋.$

Gelfand démontra cette équivalence en utilisant les propriétés des algèbres de Banach, obtenant ainsi une nouvelle démonstration du résultat de Wiener.

La condition pour l'espace Modèle:Math

Soit Modèle:Math une fonction de carré intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de Modèle:Math, Modèle:Math = Modèle:Math, est dense dans Modèle:Math si et seulement si l'ensemble des zéros réels de la transformée de Fourier de Modèle:Math est négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulle.

Le résultat correspondant pour les suites de Modèle:Math est : Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées d'une suite Modèle:Math est dense si et seulement si l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier $\phi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\theta }$ est négligeable.

Voir aussi

Article connexe

Théorème de Wiener–Ikehara