Série de Kempner

La série de Kempner est une série obtenue à partir de la série harmonique en excluant tous les termes dont le dénominateur, exprimé en base dix, contient le chiffre 9. La somme des termes de cette série s'écrit :

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\sum _{\text{'}}}}\frac{1}{n}$

où le prime dans

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\sum _{\text{'}}}}$

signifie que Modèle:Formule ne prend que les valeurs dont le développement décimal ne contient pas de 9.

Son intérêt réside dans le fait que contrairement à la série harmonique, elle converge. Ce résultat fut démontré en 1914 par Modèle:Lien. Mais il fallut attendre la fin des années 1970 pour qu'on en détermine une valeur approchée de la somme au moyen de méthodes astucieuses, en raison de sa très lente vitesse de convergence.

Démonstration

La preuve est élémentaire : les entiers à n chiffres ne contenant pas de 9 ont un premier chiffre compris entre 1 et 8 et les n − 1 suivants entre 0 et 8 ; il y en a donc 8(9Modèle:Exp), et chacun d'eux est minoré par 10Modèle:Exp, donc la série de Kempner est majorée par la série géométrique

$8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}=80$.

Sa somme vaut 22,92067... , voir la Modèle:OEIS.

Généralisation

La preuve de convergence est la même en remplaçant 9 par tout autre chiffre et la base dix par toute autre base, et la généralisation à toute séquence finie de chiffres de longueur autre que 1 s'en déduit facilement.

Ainsi, si par exemple on omet le chiffre 0, on obtient la borne supérieure

$9\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}=90$,

et une convergence vers 23,10344Modèle:,... voir la Modèle:OEIS.

Les valeurs approchées des sommes des séries, à la vingtième décimale, sont données dans le tableau suivant, en fonction du chiffre supprimé :

chiffre supprimé	valeur approchée
0	Modèle:Nombre
1	Modèle:Nombre
2	Modèle:Nombre
3	Modèle:Nombre
4	Modèle:Nombre
5	Modèle:Nombre
6	Modèle:Nombre
7	Modèle:Nombre
8	Modèle:Nombre
9	Modèle:Nombre

Lien avec la densité logarithmique

Ce résultat entraine que tous ces ensembles d'entiers naturels $A_s$ dont l'écriture en base b ne comporte pas la séquence s ont une densité logarithmique ${\text{D}}_{\log }(A_s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k\in [1,n]\cap A_s}\frac{1}{k}}{\sum _{k\in [1,n]}\frac{1}{k}}$ nulle.

Voir aussi

Articles connexes

• Constante d'Erdős-Borwein
• Problème de Bâle
• Série des inverses des nombres premiers
• Théorème de Brun
• Théorème de Müntz-Szász

Bibliographie

• Modèle:Lien web
• Modèle:Ouvrage