Loi de Dagum

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et statistique, la loi de Dagum, ou loi à deux types de Dagum-Bernstein-Rafeh-Raja-Spencer, est une loi de probabilité continue à support Modèle:Math. Son nom est issu de Camilo Dagum qui l'introduisit dans une série d'articles dans les années 1970Modèle:,. La loi de Dagum apparait dans plusieurs variantes de nouveaux modèles de revenus des ménages.

Il existe également une loi de Dagum de type I à trois paramètres et une loi de Dagum de type II à quatre paramètres ; un résumé de ces types sont détaillés dans des ouvrages tels que (Kleiber, 2008) ou (Kleiber, 2003).

Si X suit une loi de Dagum, on notera $X\sim D(a,b,p)$.

Définition

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type I) est donnée par :

$F(x;a,b,p)=\{\begin{array}{cc}{(1+{\left(\frac{x}{b}\right)}^{-a})}^{-p}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon}\end{array}$

et où $a,b,p>0$ .

La densité de probabilité correspondante est donnée par

$f(x;a,b,p)=\{\begin{array}{cc}\frac{ap}{x}\left(\frac{{\left(\frac{x}{b}\right)}^{ap}}{{({\left(\frac{x}{b}\right)}^a+1)}^{p+1}}\right)& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

La loi de Dagum peut être obtenue à partir de la loi bêta généralisée de type II (elle-même généralisation de la loi bêta prime). Il y a également un lien entre la loi de Dagum et la loi de Burr :

$X\sim D(a,b,p)⟺\frac{1}{X}\sim SM(a,\frac{1}{b},p)$.

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type II) ajoute une masse à l'origine et suit une loi de Dagum de type I sur le reste du support :

$F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta ){(1+{\left(\frac{x}{b}\right)}^{-a})}^{-p}.$

Propriétés

La variance de la loi de Dagum est donnée par :

$\text{Var}(X)=\{\begin{array}{cc}-\frac{b^2}{a^2}(2a\frac{\mathrm{\Gamma }(-\frac{2}{a})\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{a}+p)}{\mathrm{\Gamma }(p)}+{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{a})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{a}+p)}{\mathrm{\Gamma }(p)}\right)}^2)& \text{si}a>2\\ \text{indéterminé}& \text{ sinon}\end{array}$

où Modèle:Math est la fonction Gamma.

Liens externes

• Camilo Dagum (1925 - 2005)