Loi inverse-χ²

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-${\chi }^2$ (ou loi du ${\chi }^2$ inverse) est la loi de probabilité de la variable aléatoire dont l'inverse suit une loi du χ². Une variante par changement d'échelle existe également.

Cette loi est utilisée en inférence statistique. Si X suit une loi inverse-χModèle:2, on notera : $X\sim \text{Inv-}{\chi }^2(\nu )$.

Définition

Si X suit une loi du χ² à $\nu$ degrés de liberté, alors $1/X$ est de loi inverse-χModèle:2 à $\nu$ degrés de liberté.

Sa densité de probabilité est donnée par :

$f(x;\nu )=\{\begin{array}{cc}\frac{2^{-\nu /2}}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}{x}^{-\nu /2-1}{\mathrm{e}}^{-1/(2x)}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon}\end{array}$

où $\mathrm{\Gamma }$ est la fonction gamma et $\nu$ est appelé le nombre de degrés de liberté.

Variante

Une variante de la loi inverse-χModèle:2 existe, par un changement d'échelle. C'est la loi de $\nu /X$ lorsque X suit une loi du χ² à $\nu$ degrés de liberté. La densité de probabilité est alors donnée par :

$f(x;\nu )=\{\begin{array}{cc}\frac{(\nu /2{)}^{\nu /2}}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}{x}^{-\nu /2-1}{\mathrm{e}}^{-\nu /(2x)}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

Le degré de liberté est encore $\nu$.

Liens avec d'autres lois

• loi du χ² : Si $X\sim {\chi }^2(\nu )$, alors $\frac{1}{X}\sim \text{Inv-}{\chi }^2(\nu )$.
• la loi inverse-χModèle:2 est la loi inverse-gamma avec $\alpha =\frac{\nu }{2}$ et $\beta =\frac{1}{2}$.

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• InvChisquare dans le paquet geoR pour le langage R.