Loi inverse-gamma

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une distribution Gamma.

Caractérisation

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support $x>0$ par:

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(1/x{)}^{\alpha +1}\exp (-\beta /x)$

où $\alpha$ est un paramètre de forme et $\beta$ un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un paramètre d'échelle.

Fonction de répartition

La fonction de répartition est la fonction gamma régularisée :

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta /x)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$

où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la fonction gamma.

Distributions associées

• Si $X\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha ,\beta )$ et $\alpha =\frac{\nu }{2},\beta =\frac{1}{2}$ alors $X\sim \text{Inv-chi-square}(\nu )$ est une loi inverse-χ²;
• Si $X\sim \text{Inv-Gamma}(k,\theta )$, alors $1/X\sim \text{Gamma}(k,1/\theta )$ la loi Gamma de paramètre de forme $k$ et de paramètre d'échelle $1/\theta$ (ou de manière équivalente, d'intensité $\theta$);
• Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la loi de Wishart inverse.

Obtention à partir de la loi Gamma

La densité de la loi Gamma est

$f(x)=x^{k-1}\frac{{\mathrm{e}}^{-x/\theta }}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}$

et définissons la transformation $Y=g(X)=\frac{1}{X}$. La densité de la transformée est alors

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{g}^{-1}(y)|$

$=\frac{1}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}{\left(\frac{1}{y}\right)}^{k-1}\exp \left(\frac{-1}{\theta y}\right)\frac{1}{y^2}$

$=\frac{1}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}{\left(\frac{1}{y}\right)}^{k+1}\exp \left(\frac{-1}{\theta y}\right)$

$=\frac{1}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}{y}^{-k-1}\exp \left(\frac{-1}{\theta y}\right)$

Remplaçant $k$ par $\alpha$, ${\theta }^{-1}$ par $\beta$ et enfin $y$ par $x$ donne la densité donnée plus haut :

$f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{-\alpha -1}\exp \left(\frac{-\beta }{x}\right)$

Apparitions

• La loi du Modèle:Lien dans un processus de Wiener est une distribution de Lévy, qui est une loi inverse-gamma de paramètre $\alpha =0,5$