Loi de Voigt

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Voigt est la loi de probabilité continue dépendant de paramètres Modèle:Math et Modèle:Math dont la densité est donnée par la fonction de Voigt. Cette densité peut s'exprimer par la formule :

$V(x;\sigma ,\gamma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\text{Re}\left[w\left(\frac{x+\mathrm{i}\gamma }{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]$

où Modèle:Math est la partie réelle de la fonction d'erreur complexe ou fonction de Faddeeva.

Une variable aléatoire suivant la loi de Voigt sera notée : $X\sim \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{t}(\sigma ,\gamma )$.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi de Voigt est donnée par :

$F(x_0;\mu ,\sigma )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}\frac{\mathrm{R}\mathrm{e}(w(z))}{\sigma \sqrt{2\pi }}\mathrm{d}x=\mathrm{R}\mathrm{e}(\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{z(-\mathrm{\infty })}{\overset{z(x_0)}{\int }}w(z)\mathrm{d}z)$

où z est donnée par $z=\frac{x+\mathrm{i}\gamma }{\sigma \sqrt{2}}$. Par le calcul de l'intégrale généralisée de la fonction d'erreur complexe grâce à la fonction d'erreur réelle :

$\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int w(z)\mathrm{d}z=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int {\mathrm{e}}^{-z^2}[1-\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(-\mathrm{i}z)]\mathrm{d}z,$

la fonction de répartition s'écrit alors sous la forme :

$F(x;\mu ,\sigma )=\mathrm{R}\mathrm{e}[\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(z)}{2}+\frac{\mathrm{i}{z}^2}{\pi }{}_2{F}_2(1,1;\frac{3}{2},2;-z^2)]$

où ${}_2{F}_2()$ est la fonction hypergéométrique.

Fonction caractéristique

La fonction lorentzienne ne possède pas de moments, ainsi la loi de Voigt non plus. Cependant elle possède une fonction caractéristique donnée par la formule :

${\phi }_f(t;\sigma ,\gamma )=𝔼({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xt})={\mathrm{e}}^{-{\sigma }^2{t}^2/2-\gamma |t|}.$

Loi non centrée

La loi de Voigt est la convolée d'une loi normale et d'une loi de Cauchy. Si la loi gaussienne est centrée en Modèle:Math et la loi de Cauchy en Modèle:Math, la convolée sera centrée en Modèle:Math et la fonction caractéristique sera alors donnée par la formule :

${\phi }_f(t;\sigma ,\gamma ,{\mu }_{\mathrm{G}},{\mu }_{\mathrm{L}})={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}({\mu }_{\mathrm{G}}+{\mu }_{\mathrm{L}})t-{\sigma }^2{t}^2/2-\gamma |t|}.$

Le mode et la médiane valent alors Modèle:Math.

Liens avec d'autres lois

• Si $X\sim \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{t}(\sigma ,0)$, alors $X\sim 𝒩(0,\sigma )$,
• Si $X\sim \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{t}(0,\gamma )$, alors $X\sim \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}(0,\gamma )$,
• Si $Y\sim 𝒩(0,\sigma )$ et $Z\sim \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}(0,\gamma )$ indépendantes, alors $X=Y+Z\sim \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{t}(\sigma ,\gamma )$.

Références

• Modèle:Article

Articles connexes

• Probabilité
• Probabilité (mathématiques élémentaires)
• Loi de probabilité
• Fonction de Voigt
• Loi normale
• Loi de Cauchy (probabilités)