Théorème des trois cercles de Hadamard

En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.

Énoncé

Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert $C=\{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mid (r,\theta )\in ]r_1,r_2[\times ℝ\}$ et continue sur son adhérence $\bar{C}$.

On pose : $M:r\mapsto \underset{\theta }{\sup }|f(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })|$.

Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.

C'est-à-dire : $\mathrm{\forall }r\in ]r_1,r_2[\ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ln M(r)\le \ln \left(\frac{r_2}{r}\right)\ln M(r_1)+\ln \left(\frac{r}{r_1}\right)\ln M(r_2)$.

De plus, si f(z) n'est pas de la forme A z^B, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.

Démonstration

Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard.

On pose $g:z\mapsto f({\mathrm{e}}^z)$ et $m:s\mapsto \underset{|z|={\mathrm{e}}^s}{\sup }|f(z)|$.

On a donc : $\mathrm{\forall }s\in ]\ln r_1,\ln r_2[m(s)=\underset{\theta }{\sup }|f({\mathrm{e}}^{s+\mathrm{i}\theta })|=\underset{\theta }{\sup }|g(s+\mathrm{i}\theta )|$.

Or g est holomorphe sur $B=\{x+\mathrm{i}y\mid (x,y)\in ]\ln r_1,\ln r_2[\times ℝ\}$ et continue sur $\bar{B}$.

Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.

Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.

Histoire

John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve.