Théorème des trois droites de Hadamard

En analyse complexe, le théorème des trois droites de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur un domaine du plan complexe délimité par deux droites parallèles.

Résultat

Soit f une fonction holomorphe bornée sur l'ouvert $B=\{x+iy:(x,y)\in ]a,b[\times ℝ\}$ continue sur $\bar{B}$.

On pose : $M:x\mapsto \underset{y}{\sup }|f(x+iy)|$.

Alors ln M est une fonction convexe sur [a, b], c'est-à-dire :

$\mathrm{\forall }t\in [0,1]$, en posant : $x=ta+(1-t)b$, on a : $M(x)\le M(a{)}^{t}M(b{)}^{1-t},$

et de même en remplaçant [a, b] par un sous-intervalle.

Démonstration

Soit $ϵ>0$ quelconque. On pose : $F:z\mapsto \frac{f(z)M(a{)}^{\frac{z-b}{b-a}}M(b{)}^{\frac{z-a}{a-b}}}{(z+(1-a){)}^{ϵ}}$. Cette fonction est bien définie et holomorphe sur $B$.

Pour tout $z\in \bar{B}$, $|(z+(1-a){)}^{ϵ}|\ge 1$ car $|z+(1-a)|\ge \mathrm{\Re }(z+(1-a))\ge 1$. Donc $\mathrm{\forall }z\in \partial B,|F(z)|\le 1$.

Par le principe du maximum, si F n'est pas constante, alors |F| n'admet pas de maximum local sur B. Puisque $|F(z)|\to 0$ quand $|z|\to +\mathrm{\infty }$, cela implique que $|F(z)|\le 1$ pour tout $z\in \bar{B}$.

En faisant tendre $ϵ$ vers 0, il en résulte que : $\mathrm{\forall }z\in \bar{B},|f(z)||M(a{)}^{\frac{z-b}{b-a}}||M(b{)}^{\frac{z-a}{a-b}}|\le 1$.

Or : $|M(a{)}^{\frac{z-b}{b-a}}|=M(a{)}^{\frac{x-b}{b-a}}=M(a{)}^{-t}$.

De même, $|M(b{)}^{\frac{z-a}{b-a}}|=M(b{)}^{t-1}$.

Donc : $\mathrm{\forall }z\in \bar{B},|f(z)|\le M(a{)}^{t}M(b{)}^{1-t}$, ce qui est équivalent au résultat.

Annexes

Sources

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