Loi z de Fisher

En théorie des probabilités et en statistique, la loi z de Fisher est construite à partir de la loi de Fisher en prenant la moitié de son logarithme :

Z = \frac{1}{2} \log X

où X suit une loi de Fisher.

Elle est initialement apparue dans un article^[1] de Ronald Fisher lors du congrès international des mathématiciens de 1924 à Toronto, et intitulé Modèle:Lang que l'on peut traduire par : Sur une loi modélisant les fonctions d'erreur de plusieurs statistiques bien connues.

Définition

La densité de probabilité et la fonction de répartition peuvent être obtenues grâce à celles de la loi de Fisher par l'application $x \mapsto e^{2 x}$ . Cependant la moyenne et la variance ne sont pas les images de cette application. La densité est donnée par^[2]Modèle:,^[3] :

f (x; d_{1}, d_{2}) = \frac{2 d_{1}^{d_{1} / 2} d_{2}^{d_{2} / 2}}{B (d_{1} / 2, d_{2} / 2)} \frac{e^{d_{1} x}}{{(d_{1} e^{2 x} + d_{2})}^{(d_{1} + d_{2}) / 2}},

Si $X \sim FisherZ (n, m)$ alors $e^{2 X} \sim F (n, m)$ (loi de Fisher)
Si $X \sim F (n, m)$ alors $\frac{\log X}{2} \sim FisherZ (n, m)$
Lorsque le nombre de degré de liberté est grand ( $n_{1}, n_{2} \to \infty$ ), la loi approche la loi normale de moyenne^[2] $\bar{X} = (1 / d_{2} - 1 / d_{1}) / 2$ et de variance $σ_{X}^{2} = (1 / d_{1} + 1 / d_{2}) / 2 .$