Loi de Fisher

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continueModèle:,Modèle:,. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George Snedecor.

La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que loi de la statistique de test lorsque l'hypothèse nulle est vraie, dans des tests statistiques, comme les tests du ratio de vraisemblance, dans les tests de Chow utilisés en économétrie, ou encore dans l'analyse de la variance (ANOVA) via le test de Fisher.

Caractérisation

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, Modèle:Formule et Modèle:Formule, distribuées chacune selon une loi du χ² et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivement Modèle:Formule et Modèle:Formule : Modèle:Indente

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, Modèle:Formule, est donnée par Modèle:Indente pour tout réel Modèle:Formule, où Modèle:Formule et Modèle:Formule sont des entiers positifs et Modèle:Formule est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est : Modèle:Indente où Modèle:Formule est la fonction bêta incomplète régularisée.

La loi binomiale est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante: si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors $\mathbb{P}(X\le k)=\mathbb{P}(F\ge x)$ où F suit une loi de Fisher de paramètres $d_1=2(k+1),d_2=2(n-k)$ avec $x=\frac{n-k}{k+1}\cdot \frac{p}{1-p}.$

L'espérance, la variance valent respectivement Modèle:Indente pour Modèle:Formule et Modèle:Indente

Généralisation

Une généralisation de la loi de Fisher est la Modèle:Lien.

Lois associées et propriétés

• Si $X\sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$ alors $Y=\underset{d_2\to \mathrm{\infty }}{\lim }{d}_{1}X$ est distribuée selon une loi du χ² ${\chi }_{d_1}^2$;
• La loi $\mathrm{F}(d_1,d_2)$ est équivalente à la loi TModèle:2 de Hotelling $(d_1(d_1+d_2-1)/d_2){\mathrm{T}}^2(d_1,d_1+d_2-1)$;
• Si $X\sim \mathrm{F}(d_1,d_2),$ alors la loi inverse est aussi une loi de Fisher $\frac{1}{X}\sim F(d_2,d_1)$;
• Si $X\sim \mathrm{t}(d)$ est distribuée selon une loi de Student alors $X^2\sim \mathrm{F}(1,d)$;
• Si $X\sim 𝒩(0,1)$ est distribuée selon une loi normale alors $X^2\sim \mathrm{F}(1,\mathrm{\infty })$;
• Si $X\sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$ et $Y=\frac{d_{1}X/d_2}{1+d_{1}X/d_2}$ alors $Y\sim \mathrm{Beta}(d_1/2,d_2/2)$ est distribuée selon une loi bêta;
• Si ${\mathrm{Q}}_X(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $X\sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$ et que ${\mathrm{Q}}_Y(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $Y\sim \mathrm{F}(d_2,d_1)$ alors ${\mathrm{Q}}_X(p)=1/{\mathrm{Q}}_Y(1-p)$.

Table de valeurs des quantiles

Définition du Modèle:95e centile d'une loi de Fisher-Snedecor.

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Fisher pour différents paramètres ν₁ et ν₂. Pour chaque paramètre, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Fisher lui soit inférieur est de

$1-\alpha$

. Ainsi, pour

$1-\alpha =0,95$

et

$d_1=1$

et

$d_2=3$

, si X suit une loi de Fisher avec ces paramètres , on lit dans la table que

$P(X⩽10,13)=0,95.$

Table de Fisher-Snedecor, 1-α = 0.95

$d_2$ (dén.)	$d_1$ (numérateur)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	80	100	200	500	1 000
1	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	248.02	250.10	251.14	251.77	252.20	252.72	253.04	253.68	254.06	254.19
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.45	19.46	19.47	19.48	19.48	19.48	19.49	19.49	19.49	19.49
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.66	8.62	8.59	8.58	8.57	8.56	8.55	8.54	8.53	8.53
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.80	5.75	5.72	5.70	5.69	5.67	5.66	5.65	5.64	5.63
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.56	4.50	4.46	4.44	4.43	4.41	4.41	4.39	4.37	4.37
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.87	3.81	3.77	3.75	3.74	3.72	3.71	3.69	3.68	3.67
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.44	3.38	3.34	3.32	3.30	3.29	3.27	3.25	3.24	3.23
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.15	3.08	3.04	3.02	3.01	2.99	2.97	2.95	2.94	2.93
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	2.94	2.86	2.83	2.80	2.79	2.77	2.76	2.73	2.72	2.71
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.77	2.70	2.66	2.64	2.62	2.60	2.59	2.56	2.55	2.54
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.12	2.04	1.99	1.97	1.95	1.92	1.91	1.88	1.86	1.85
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.33	2.27	2.21	2.16	1.93	1.84	1.79	1.76	1.74	1.71	1.70	1.66	1.64	1.63
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.25	2.18	2.12	2.08	1.84	1.74	1.69	1.66	1.64	1.61	1.59	1.55	1.53	1.52
50	4.03	3.18	2.79	2.56	2.40	2.29	2.20	2.13	2.07	2.03	1.78	1.69	1.63	1.60	1.58	1.54	1.52	1.48	1.46	1.45
60	4.00	3.15	2.76	2.53	2.37	2.25	2.17	2.10	2.04	1.99	1.75	1.65	1.59	1.56	1.53	1.50	1.48	1.44	1.41	1.40
70	3.98	3.13	2.74	2.50	2.35	2.23	2.14	2.07	2.02	1.97	1.72	1.62	1.57	1.53	1.50	1.47	1.45	1.40	1.37	1.36
80	3.96	3.11	2.72	2.49	2.33	2.21	2.13	2.06	2.00	1.95	1.70	1.60	1.54	1.51	1.48	1.45	1.43	1.38	1.35	1.34
90	3.95	3.10	2.71	2.47	2.32	2.20	2.11	2.04	1.99	1.94	1.69	1.59	1.53	1.49	1.46	1.43	1.41	1.36	1.33	1.31
100	3.94	3.09	2.70	2.46	2.31	2.19	2.10	2.03	1.97	1.93	1.68	1.57	1.52	1.48	1.45	1.41	1.39	1.34	1.31	1.30
200	3.89	3.04	2.65	2.42	2.26	2.14	2.06	1.98	1.93	1.88	1.62	1.52	1.46	1.41	1.39	1.35	1.32	1.26	1.22	1.21
300	3.87	3.03	2.63	2.40	2.24	2.13	2.04	1.97	1.91	1.86	1.61	1.50	1.43	1.39	1.36	1.32	1.30	1.23	1.19	1.17
500	3.86	3.01	2.62	2.39	2.23	2.12	2.03	1.96	1.90	1.85	1.59	1.48	1.42	1.38	1.35	1.30	1.28	1.21	1.16	1.14
1 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.11	2.02	1.95	1.89	1.84	1.58	1.47	1.41	1.36	1.33	1.29	1.26	1.19	1.13	1.11
2 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.10	2.01	1.94	1.88	1.84	1.58	1.46	1.40	1.36	1.32	1.28	1.25	1.18	1.12	1.09

Voir aussi

• Test de Fisher

Liens externes

• Table of critical values of the F-distribution
• Online significance testing with the F-distribution
• Distribution Calculator pour calculer les probabilités et les valeurs critiques des lois normales, de Student, du Chi-deux et de la loi de Fisher
• Cumulative distribution function (CDF) calculator for the Fisher F-distribution
• Probability density function (PDF) calculator for the Fisher F-distribution