Nombre de Lah

En mathématiques, les nombres de Lah, établis par Modèle:Lien, permettent d’exprimer les factorielles croissantes en fonction des factorielles décroissantes et réciproquement.

Définitions

Les nombres de Lah (signés) L(n, k) (Modèle:OEIS) sont définisModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn par :

$x^{\bar{n}}=\sum _k(-1{)}^{n}L(n,k)x^{\underset{\_}{k}}$

avec $x^{\bar{n}}=x(x+1)\cdots (x+n-1)$ la factorielle croissante et $x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)$ la factorielle décroissante, d’où :

$\sum _{k}L(n,k)x^{\underset{\_}{k}}=(-1{)}^n{x}^{\bar{n}}=(-x{)}^{\underset{\_}{n}}$.

On montre (voir section #Expression directe ci-dessous) que L(n, k) a pour signe (-1)Modèle:Exp. De même que pour les nombres de Stirling de première espèce, la notation de Karamata–Knuth désigne la version non signée des nombres de Lah (Modèle:OEIS) :

$\lfloor \begin{array}{c}n\\ k\end{array}\rfloor =|L(n,k)|=(-1{)}^{n}L(n,k)$,

d’où :

$x^{\bar{n}}=\sum _k\lfloor \begin{array}{c}n\\ k\end{array}\rfloor x^{\underset{\_}{k}}$.

Propriétés

Relation inverse

$x^{\underset{\_}{n}}=\sum _{k}L(n,k)(-x{)}^{\underset{\_}{k}}=\sum _k(-1{)}^{k}L(n,k)x^{\bar{k}}$.

Formule de récurrence

$L(n+1,k)=-(n+k)L(n,k)-L(n,k-1)$ avec $L(0,k)={\delta }_k$ (symbole de Kronecker).

Expression directe

Pour , $L(n,k)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})\frac{n!}{k!}=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(n-1)!}{(k-1)!}=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})(n-k)!=(-1{)}^n\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!}$.

Modèle:Démonstration Donc L(n, k) a pour signe (-1)Modèle:Exp, d’où l’expression de $\lfloor \begin{array}{c}n\\ k\end{array}\rfloor$ ( Modèle:OEIS) :

Modèle:Diagonal split header	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	2	1
3	0	6	6	1
4	0	24	36	12	1
5	0	120	240	120	20	1
6	0	720	1800	1200	300	30	1
7	0	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	0	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	0	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1
10	0	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	1

Involution

$\sum _{i}L(n,i)L(i,k)={\delta }_{n,k}$

avec δModèle:Ind le symbole de Kronecker. La matrice des L(n, k) est donc involutive. Modèle:Démonstration

Autres propriétés

Les nombres de Lah non signés peuvent s’exprimer en fonction des nombres de Stirling $\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]$ (de première espèce non signés) et $\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$ (de seconde espèce) :

$\lfloor \begin{array}{c}n\\ k\end{array}\rfloor =\sum _i\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}i\\ k\end{array}\right\}$.

Ils peuvent également s’exprimer en fonction des polynômes de Bell :

$\lfloor \begin{array}{c}n\\ k\end{array}\rfloor =B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)$.

Dérivée de exp(1/x)

Les nombres de Lah permettent d'exprimer la dérivée n-ème de $e^{\frac{1}{x}}$ :

$\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}}\sum _{k=1}^n\frac{L(n,k)}{x^{n+k}}$

Application pratique récente

Ces dernières années, les nombres de Lah ont été utilisés en stéganographie pour cacher des données dans des images. Par rapport aux alternatives telles que la DCT, la DFT et la DWT, elle présente une complexité moindre — $O(n\log n)$ — de calcul de leurs coefficients entiersModèle:,. Les transformées de Lah et de Laguerre apparaissent naturellement dans la description perturbative de la dispersion chromatiqueModèle:,. En optique de Lah-Laguerre, une telle approche accélère considérablement les problèmes d'optimisation.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Symbole de Pochhammer
• Nombre de Stirling
• Polynôme de Bell