Polynôme de Bell

En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, un polynôme de Bell, nommé ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, est défini par:

$B_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})=\sum \frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}{\left(\frac{x_1}{1!}\right)}^{j_1}{\left(\frac{x_2}{2!}\right)}^{j_2}\cdots {\left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)}^{j_{n-k+1}}$

où la somme porte sur toutes les suites j₁, j₂, j₃, …, j_n−k+1 d'entiers naturels telles que :

$j_1+j_2+\cdots +j_{n-k+1}=k$ et $j_1+2j_2+3j_3+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n$

Polynômes de Bell complets

La somme

$B_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes BModèle:Ind définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell « partiels ». Les polynômes de Bell complets BModèle:Ind peuvent être exprimés par le déterminant d’une matrice :

$B_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{ccccccc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})x_3& (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})x_4& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{0})x_{n-1}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{0})x_n\\ \\ -1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})x_3& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{1})x_{n-2}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1})x_{n-1}\\ \\ 0& -1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})x_2& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2})x_{n-3}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})x_{n-2}\\ \\ 0& 0& -1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})x_1& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{3})x_{n-4}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{3})x_{n-3}\\ \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ \\ 0& 0& 0& 0& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{n-2})x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n-2})x_2\\ \\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n-1})x_1\end{array}\right|=|(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-1}{i-1})x_{j-i+1}-{\delta }_{j-i+1}|$

avec δModèle:Ind le symbole de Kronecker. La matrice dont BModèle:Ind est le déterminant est une matrice de Hessenberg.

Interprétation combinatoire

Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j₁ fois, "2" apparait j₂ fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.

Exemples

Par exemple, nous avons :

$B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5{x}_1+15x_4{x}_2+10x_3^2$

car il y a :

• 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ;
• 15 partitions de la forme 4 + 2 ;
• 10 partitions de la forme 3 + 3.

De même :

$B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4{x}_1^2+60x_3{x}_2{x}_1+15x_2^3$

car il y a :

• 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ;
• 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ;
• 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.

Propriétés

Formule de récurrence

$B_{n+1}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1})=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_{n-k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k})x_{k+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x_1,x_2,\dots ,x_k)x_{n-k+1}$

avec Modèle:Formule.

Nombre de Stirling de seconde espèce

$B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$

Nombre de Bell

$B_n(1,1,\dots ,1)=B_n$

Nombre de Stirling de première espèce (non signés)

$B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]$

Nombre de Lah

$B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)=\lfloor \begin{array}{c}n\\ k\end{array}\rfloor$

Factorielle

$B_n(0,1,\dots ,n-1)=(n-1)!$ pour Modèle:Formule.

$B_n(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=n!$

$B_n(-0!,-1!,\dots ,-(n-1)!)=0$

Dernier argument

• $B_{n,1}(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_n$
• $\mathrm{\forall }k>1,B_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1},x_{n-k+2},\dots ,x_n)=B_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})=B_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1},0,\dots ,0)$
• $B_n(x_1,x_2,\dots ,x_{n-1},x_n)=B_n(x_1,x_2,\dots ,x_{n-1},0)+x_n$

Type binomial

$B_n(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_{n-k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k})B_k(y_1,y_2,\dots ,y_k)$

avec Modèle:Formule.

Réciproque

Soit Modèle:Formule une fonction infiniment dérivable en un point Modèle:Formule et de réciproque Modèle:Formule, alors :

$y_n=\sum _{k=1}^n[f{]}_{x=a}^{(k)}{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})\iff x_n=\sum _{k=1}^n[f^{-1}{]}_{x=f(a)}^{(k)}{B}_{n,k}(y_1,y_2,\dots ,y_{n-k+1})$

Cas particuliers

En prenant Modèle:Formule (soit Modèle:Formule) infiniment dérivable en 0, on a :

• $[f{]}_{x=0}^{(k)}=1$
• $[f^{-1}{]}_{x=f(0)}^{(k)}=(-1{)}^{k-1}(k-1)!$

d’où :

$y_n=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})\iff x_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_1,y_2,\dots ,y_{n-k+1})$

soit :

$x_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(k-1)!B_{n,k}[B_1(x_1),B_2(x_1,x_2),\dots ,B_{n-k+1}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})]$

En prenant Modèle:Formule avec Modèle:Formule (soit Modèle:Formule) infiniment dérivable en 1, on a :

• $[f{]}_{x=1}^{(k)}={\alpha }^{\underset{\_}{k}}$
• $[f^{-1}{]}_{x=f(1)}^{(k)}={\left(\frac{1}{\alpha }\right)}^{\underset{\_}{k}}$

avec Modèle:Formule la factorielle décroissante, d’où :

$y_n=\sum _{k=1}^n{\alpha }^{\underset{\_}{k}}{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})\iff x_n=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{\alpha }\right)}^{\underset{\_}{k}}{B}_{n,k}(y_1,y_2,\dots ,y_{n-k+1})$

Factorielle décroissante

$\mathrm{\forall }(a,b)\in {\mathbb{N}}^2,\sum _{k=1}^n{a}^{\underset{\_}{k}}{B}_{n,k}(b^{\underset{\_}{1}},b^{\underset{\_}{2}},\dots ,b^{\underset{\_}{n}})=(ab{)}^{\underset{\_}{k}}$

avec Modèle:Formule la factorielle décroissante.

Comportement d’échelle

Polynômes de Bell partiels

Cas général

$B_{n,k}(\alpha \beta x_1,\alpha {\beta }^2{x}_2,\dots ,\alpha {\beta }^{n-k+1}{x}_{n-k+1})={\alpha }^k{\beta }^n{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

Cas particuliers

$B_{n,k}(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_{n-k+1})={\alpha }^k{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

$B_{n,k}(\alpha x_1,{\alpha }^2{x}_2,\dots ,{\alpha }^{n-k+1}{x}_{n-k+1})={\alpha }^n{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

Polynômes de Bell complets

Cas général

$B_n(\alpha \beta x_1,\alpha {\beta }^2{x}_2,\dots ,\alpha {\beta }^n{x}_n)={\beta }^n\sum _{k=1}^n{\alpha }^k{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

Cas particuliers

$B_n(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_n)=\sum _{k=1}^n{\alpha }^k{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

$B_n(\alpha x_1,{\alpha }^2{x}_2,\dots ,{\alpha }^n{x}_n)={\alpha }^n{B}_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

Autre expression

$B_n(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_n)=\sum _{k=1}^n{\alpha }^{\underset{\_}{k}}{B}_{n,k}[B_1(x_1),B_2(x_1,x_2),\dots ,B_{n-k+1}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})]$

avec Modèle:Formule la factorielle décroissante.

Identité de convolution

Pour des suites x_n, y_n, n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :

$(x\mathrm{♢}y{)}_n=\sum _{j=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})x_j{y}_{n-j}$

(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).

Soit $x_n^{k\mathrm{♢}}$ le n-ème terme de la suite $\underset{k\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\underbrace{x\mathrm{♢}\cdots \mathrm{♢}x}}$

Alors :

$B_{n,k}(x_1,\dots ,x_{n-k+1})=\frac{x_n^{k\mathrm{♢}}}{k!}$

Applications

Formule de Faà di Bruno

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=\sum _{k=1}^n{f}^{(k)}(g(x))B_{n,k}(g^{\prime }(x),g^{″}(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x))$

De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n$ et $g(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n!}{x}^n$

Alors :

$g(f(x))=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{k=1}^n{b}_k{B}_{n,k}(a_1,\dots ,a_{n-k+1})}{n!}{x}^n$

Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle :

$\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(a_1,\dots ,a_n)}{n!}{x}^n$

Moments et cumulants

Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre Modèle:Formule existe, on a :

$m_r=B_r({\kappa }_1,{\kappa }_2,\dots ,{\kappa }_r)$

avec Modèle:Formule le moment ordinaire d’ordre Modèle:Formule et Modèle:Formule les cumulants d’ordre Modèle:Formule à Modèle:Formule.

Représentations de suites polynomiales

Pour toute suite a₁, a₂, a₃, … de scalaires, soit :

$p_n(x)=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(a_1,\dots ,a_{n-k+1})x^k$

Cette suite de polynômes est de type binomial, c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :

$p_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)p_{n-k}(y)$

pour n ≥ 0.

En fait, on a également la réciproque :

Si nous posons

$h(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n$

en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :

$h^{-1}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)p_n(x)=n{p}_{n-1}(x)$

Notes et références

• Modèle:Article
• Modèle:En Louis Comtet, Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland/Boston-U.S., 1974
• Modèle:En Modèle:Lien, The Umbral Calculus, Dover Publications

Articles connexes

• Calcul ombral
• Indicateur de cycles du groupe symétrique