Théorème de Kneser (combinatoire)

En combinatoire additive, le théorème de Kneser, nommé d'après Martin Kneser, est un énoncé sur les sommes d'ensembles dans les groupes abéliens.

Énoncé

Soient A et B deux parties finies non vides d'un groupe abélien G et H le sous-groupe (fini) des périodes de A + B :

$H=\{g\in G|g+(A+B)=(A+B)\},$

alors :

$(*)|A+B|\ge |A+H|+|B+H|-|H|,$

ce qui entraîne : |A + B| ≥ |A| + |B| – |H| ; en particulier si |A + B| ≤ |A| + |B| – 2 alors A + B est périodique, i.e. possède des périodes non nulles.

De plus, si l'inégalité (✲) est stricte, alors |A + B| est même supérieur ou égal à |A + H| + |B + H|.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Cauchy-Davenport
• Théorème de Freiman
• Théorème de Mann

Lien externe

Modèle:En Hamidoune’s Freiman-Kneser theorem for nonabelian groups, Modèle:Date-, sur le blog de Terence Tao