Inégalité de Bernoulli

Illustration de l'inégalité de Bernoulli pour $n=3$

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — portant le nom du mathématicien Jacques Bernoulli — énonce que :

$(1+x{)}^n>1+nx$

pour tout entier Modèle:Math et tout réel Modèle:Mvar non nul supérieur ou égal à Modèle:Math.

Démonstrations

Par récurrence

Soit un réel $x\in [-1,0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[$. Montrons l'inégalité pour tout entier Modèle:Math, par récurrence sur Modèle:Mvar .

• Initialisation : $(1+x{)}^2=1+2x+x^2>1+2x$ donc la propriété est vraie pour Modèle:Math.
• Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que $(1+x{)}^k>1+kx$ et montrons que la propriété est vraie au rang suivant Modèle:Math, c'est-à-dire montrons que $(1+x{)}^{k+1}>1+(k+1)x$.
  En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par Modèle:Math (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : $(1+x{)}^{k+1}=(1+x{)}^k(1+x)\ge (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+k{x}^2>1+(k+1)x$.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang Modèle:Math et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier Modèle:Math.

Utilisant la formule du binôme et la formule des séries géométriques

D'après la formule du binôme, si Modèle:Math , $(1+x{)}^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}{x}^2+\cdots +x^n>1+nx$

et d'après la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, si $-1⩽x<0$ : Modèle:Nobr, d'où $(1+x{)}^n>1+nx$.

Utilisant la notion de convexité

La courbe d'une fonction strictement convexe se trouve strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact.

Plus précisément, si $f$ est strictement convexe dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0$ un point de $I$, alors : $\mathrm{\forall }x\in I\mathrm{\setminus }\{x_0\}:f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.

Appliquant ceci à $f(x)=(1+x{)}^n$ qui est bien strictement convexe sur $[-1,+\mathrm{\infty }[$ pour $n>1$ car $f^{\prime }(x)=n(1+x{)}^{n-1}$ est strictement croissante sur cet intervalle, en prenant $x_0=0$ on obtient bien $(1+x{)}^n>1+nx$.

Généralisation

Exposant étendu à un réel >1

Pour tout réel Modèle:Math et tout réel Modèle:Mvar non nul et supérieur ou égal à Modèle:Math, on a encore :

$(1+x{)}^r>1+rx$.

La démonstration par convexité fonctionne de la même façon, mais on peut effectuer la démonstration élémentaire suivante :Modèle:Démonstration

Cas d'un réel strictement compris entre 0 et 1

Pour tout réel

$r\in ]0,1[$

et tout réel Modèle:Mvar non nul et supérieur ou égal à Modèle:Math, on a cette fois :

$(1+x{)}^r<1+rx$.

La fonction

$f$

définie par

$f(x)=(1+x{)}^r$

est cette fois strictement concave sur

$[-1,+\mathrm{\infty }[$

car

$f^{″}(x)=r(r-1)(1+x{)}^{r-2}<0$

sur

$]-1,+\mathrm{\infty }[$

, d'où le changement de sens de l'inégalité.

Utilisations

Modèle:... L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel Modèle:Math, la [[Suite géométrique#Convergence|limite de la suite géométrique Modèle:Math]] est égale à Modèle:Math.

Elle peut aussi être utilisée pour démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : $\sqrt[n]{x_1\dots x_n}⩽\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$.