Valeur absolue ultramétrique

Une valeur absolue ultramétrique est une application d'un corps K dans l'ensemble ℝModèle:Ind des nombres réels positifs vérifiant les trois propriétés suivantes :

• $|x|=0_{ℝ}⟺x=0_K$ (axiome de séparation) ;
• $|xy|=|x||y|$ (morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝModèle:Ind*) ;
• $|x+y|\le \max (|x|,|y|)$ (inégalité ultramétrique)

quels que soient les éléments $x$ et $y$ de K.

Exemples

Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale sur K associe à 0 la valeur 0, et à tout autre élément de K la valeur 1.

C'est la valeur absolue ultramétrique associée à la valuation triviale sur K.

Valeur absolue p-adique

Modèle:Article détaillé Soit un nombre premier arbitraire $p$. On peut écrire de façon unique n'importe quel nombre rationnel $r$ sous la forme :

$r=p^k\frac{a}{b}$ où $k\in \mathbb{Z}$ et où $a$ et $b$ sont premiers entre eux et premiers avec $p$.

On définit alors l'application associant à un nombre rationnel $r$ la valeur $|r{|}_p=p^{-k}$. Par exemple,Modèle:Retrait

Cette application est une valeur absolue ultramétrique sur le corps $\mathbb{Q}$, associée à la valuation p-adique.

Liens avec les notions voisines

• Une telle application est un cas particulier de valeur absolue sur un corps.
• L'application Modèle:Math est par conséquent une distance sur K, la symétrie étant due au fait que $|-x|=|x|$ pour tout élément $x$ de K.
• Cette distance est ultramétrique.
• Une application est une valeur absolue ultramétrique si et seulement si c'est une valeur absolue associée à une valuation à valeurs réelles.

Propriétés

• Notons $e$ désigne l'élément neutre pour la multiplication de K.

• Pour tout couple Modèle:Math d'éléments du corps K,

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