Rosace (mathématiques)

Courbe définie par r = cos kθ, pour différentes valeurs de k = n/d.

En mathématiques, une rosace, ou rhodonea est une courbe plane obtenue en traçant une sinusoïde en coordonnées polaires.

Généralités

À une similitude près, ces courbes sont définies par une équation polaire de la forme :

$r=\cos (k\theta )$

ou sous forme paramétrique par les fonctions :

$x=\cos (k\theta )\sin (\theta )$

$y=\cos (k\theta )\cos (\theta )$

k étant un nombre réel :

• si k est rationnel, alors la courbe est fermée et de longueur finie ; Dans ce cas et en considérant $k=p/q$, la courbe se fermera lorsque l'angle polaire $\theta =\pi qm$ ;
  • Avec $m=1$ si $pq$ est impair.
  • Avec $m=2$ si $pq$ est pair.
• si k est irrationnel, alors la courbe n'est pas fermée et sa longueur est infinie.

La rosace aura :

• k pétales si k est un entier impair, car la courbe est entièrement tracée quand θ varie de 0 à π (quand θ varie de π à 2π, la courbe repasse par les points déjà tracés) ;
• 2k pétales si k est un entier pair, car la courbe est tracée exactement une fois quand θ varie de 0 à 2π.
• 4k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 2 (exemples : 1/2, 5/2) ;
• 12k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 6 et supérieure à 1 (exemples : 7/6, 17/6).

• Rosaces
• 
  à 7 pétales (k=7)
• 
  à 8 pétales (k=4)
• 
  à 20 pétales (k=10)

Si k est une fraction irréductible de dénominateur 3 et supérieure à 1, la rosace aura :

• 3k pétales si son numérateur est impair (exemples : 5/3 et 7/3) ;
• 6k pétales si son numérateur est pair (exemples : 4/3 et 8/3).

Le terme rhodonea a été choisi par le mathématicien italien Luigi Guido Grandi entre 1723 et 1728.

Aire

Une rosace dont l'équation polaire est de la forme

$r=a\cos (k\theta )$

où k est un entier positif, a une aire égale à

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^2\mathrm{d}\theta =\frac{a^2}{2}(\pi +\frac{\sin (4k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{2}$

si k est pair et

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^2\mathrm{d}\theta =\frac{a^2}{2}(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin (2k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{4}$

si k est impair.

Le même principe s'applique aux rosaces d'équation polaire de la forme :

$r=a\sin (k\theta )$

puisque leurs graphes ne sont que des images par rotation des rosaces définies en utilisant le cosinus.

Voir aussi

Articles connexes

• Courbe de Lissajous
• Quadrifolium - une rosace avec k = 2.
• Modèle:Lien
• Les inverses des rosaces : les épis.

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Rosaces sur Mathcurve

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