Quadrifolium

En mathématiques, un quadrifolium est une courbe plane obtenue en traçant une sinusoïde en coordonnées polaires, plus précisément une rosace avec k = 2, donc à quatre pétales.

Son équation en coordonnées polaires est :

r = \cos (2 θ),

l'équation cartésienne correspondante est

(x^{2} + y^{2})^{3} = (x^{2} - y^{2})^{2} .

Pivoté de 45°, ces deux équations deviennent

r = \sin (2 θ)

et

(x^{2} + y^{2})^{3} = 4 x^{2} y^{2} .

Ces deux équations cartésiennes sont celles d'une courbe algébrique plane de genre zéro.

Sa courbe duale a pour équation :

(x^{2} - y^{2})^{4} + 837 (x^{2} + y^{2})^{2} + 108 x^{2} y^{2} = 16 (x^{2} + 7 y^{2}) (y^{2} + 7 x^{2}) (x^{2} + y^{2}) + 729 (x^{2} + y^{2}) .

L'aire de la zone à l'intérieur de la courbe est $\frac{1}{2} π$ , qui est exactement la moitié de l'aire du disque unité, dont le bord est le cercle circonscrit à la courbe. La longueur de la courbe est environ 9,6884^[1].