Constante gravitationnelle de Gauss

En 1801, la découverte de Cérès démontre l'utilité de la constante gravitationnelle de Gauss.

La constante gravitationnelle de Gauss est un paramètre utilisé en astronomie pour les calculs de mécanique céleste effectués en unités du système astronomique (jour, masse solaire, unité astronomique) plutôt qu'en celles du Système international d'unités (seconde, kilogramme, mètre). Ce paramètre n'est constant que pour un système donné : dans un autre système planétaire, satellite naturel ou stellaire, cette constante aurait une valeur différente. En l'absence de précision, c'est de la constante associée au Système solaire que l’on parle.

Mise en évidence

En mécanique céleste non relativiste, dans le cadre du problème à deux corpsModèle:Sfn à symétrie sphérique et isolés, il existe une loi Modèle:Incise qui relie la période $T$ et le demi-grand axe $a$ de l'orbite relative de l'objet secondaire de masse $m>0$ au produit $\mu$ de la masse $M>m$ de l'objet primaire par la constante $G$ de la gravitation :

$\frac{a^3}{T^2}=\frac{\mu }{4{\pi }^2}(1+\frac{m}{M})$.

Prenons $M$ comme unité de masseModèle:Sfn : $M=1$ ; prenons une unité de tempsModèle:Sfn telle que : $T>1$, et permettant d'exprimer le moyen mouvement $n$ de l'objet secondaire : $n=\sqrt{\frac{\mu }{a^3}}$. Considérons que la masse de l'objet secondaire est négligeable par rapport à celle de l'objet primaireModèle:Sfn ; et notonsModèle:Sfn : $k^2=\mu$.

Il est alors possible de définir une unité de longueurModèle:Sfn : $a=1$, telle queModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn : $n=k$, où $k$ est la constante de Gauss.

Dans le système précité d'unitésModèle:Sfn : $\sqrt{G}=\frac{2\pi }{T}$, soitModèle:Sfn : $G=\frac{4{\pi }^2}{T^2}$.

Ainsi, $G=4\pi$ avec $T=1$ où $T$ est l'année gaussienneModèle:Sfn.

Histoire

L'éponyme de la constante de GaussModèle:SfnModèle:,Modèle:Note est Carl Friedrich Gauss (Modèle:Date-Modèle:Date), qui l'a proposée en Modèle:DateModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn dans sa Modèle:LangueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn (« Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du Soleil »). Gauss semble l'avoir utilisée dès Modèle:Date afin de prédire l'orbite de Cérès, découverte le Modèle:Date par Giuseppe Piazzi et que celui-ci avait perdue de vueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Avant Gauss, Isaac Newton avait lui-même utilisé la constanteModèle:Sfn.

Dès Modèle:Date, Jean-Baptiste Delambre (Modèle:Date-Modèle:Date) présente la constante dans son compte-rendu de l'ouvrage de Gauss pour la Connaissance des tempsModèle:Sfn.

En Modèle:Date, Urbain Le Verrier (Modèle:Date-Modèle:Date) ouvre un débat sur la question de savoir si la valeur numérique de la constante de Gauss ne devrait pas être modifiéeModèle:Sfn.

En Modèle:Date, Simon Newcomb (Modèle:Date-Modèle:Date) publie ses Modèle:Langue (« Tables du Soleil ») dans lesquelles il adopte la notation et les valeurs de la constante que Gauss avait lui-même proposéesModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

En Modèle:Date à Stockholm, la [[Assemblée générale de l'Union astronomique internationale de 1938|Modèle:6e]] de l'Union astronomique internationale (UAI) adopte à l'unanimitéModèle:Sfn une résolution présentée par la commission des éphéméridesModèle:Sfn et fixant la constante de Gauss à k = Modèle:Unité par jour solaire moyen pour Modèle:Date-.0Modèle:Sfn.

En Modèle:Date à Grenoble, la [[Assemblée générale de l'Union astronomique internationale de 1976|Modèle:16e]] de l'UAI adopte une recommandation en vertu de laquelle la constante de Gauss devient laModèle:Note Modèle:CitationModèle:Sfn du système astronomique d'unités. Sa valeur reste celle adoptée en Modèle:Date-Modèle:Sfn et sert à définir l'unité astronomique de longueurModèle:Sfn.

En Modèle:Date à Pékin, la [[Assemblée générale de l'Union astronomique internationale de 2012|Modèle:28e]] de l'UAI adopte une résolution qui redéfinit l'unité astronomique de longueur comme une Modèle:CitationModèle:Sfn ; cessant ainsi d'être une Modèle:Citation servant à définir l'unité astronomique de longueur, la constante de Gauss est supprimée du système des constantes astronomiquesModèle:Sfn.

Dérivation par Gauss

Modèle:... Gauss énonce les lois qui, en mécanique céleste newtonienne, régissent le mouvement képlérien, non perturbé, d'un système de deux corps en interaction gravitationnelle.

Dans ce cadre, l'équation de l'orbite s'écrit :

$r(\nu )=\frac{p}{1+e\cos (\nu )}$,

qui est l'équation, en coordonnées polaires $(r,\nu )$, d'une conique paramétrée par $p$ et $e$ où :

• $\nu$ est l'anomalie vraie ;
• $p$ est le paramètre de l'orbite ;
• $e$ est son excentricité ;
• $\cos$ est la fonction cosinus.

Puis il définit sa constante $k$ parModèle:Sfn :

$k=\frac{g}{t\sqrt{p}\sqrt{1+\mu }}$,

oùModèle:Sfn :

• $g$ est le double de l'aire balayée, dans le temps $t$, par le rayon vecteur mené du Soleil à l'astre ;
• $2p$ est le paramètre de l'orbite de l'astre ;
• $\mu$ est la masse de l'astre en unité de masse solaire.

Puis Gauss considère le cas d'une orbite elliptique où $g$, pour une période de révolution $T$ complète, est donnée parModèle:Sfn :

$2\pi a^{\frac{3}{2}}\sqrt{p}$,

oùModèle:Sfn :

• $a$ est le demi-grand axe de l'orbite.

Cela lui a permis de définir $k$ parModèle:Sfn :

• $k=\frac{2\pi a^{\frac{3}{2}}}{T\sqrt{1+\mu }}$.

Puis, pour définir un système d'unités et calculer la valeur de $k$ dans celui-ci, Gauss considèr le cas de la TerreModèle:Sfn. Il prend Modèle:Incise le jour solaire moyen pour unité de tempsModèle:Sfn et le demi-grand axe de l'orbite de la Terre pour unité de longueurModèle:Sfn. Puis il calcule la valeur de $k$ à partir des valeurs suivantesModèle:Sfn :

• $T=365,2563835$ ;
• $\mu =\frac{1}{354710}$.

Il obteientModèle:Sfn :

$k=0,01720209895$.

Notation et valeur

Notation

La constante de Gauss est couramment notée $k$, correspondant à la lettre K minuscule de l'alphabet latin, initiale de l'allemand Modèle:Lang (constante).

Expression

Depuis Modèle:Date-, la constante de Gauss est donnée par la relationModèle:Sfn :

$k=\sqrt{G{M}_{\mathrm{S}}}$,

oùModèle:Sfn :

• $G$ est la constante de la gravitation,
• $M_{\mathrm{S}}$ est la masse du Soleil,

et :

• leur produit $G{M}_{\mathrm{S}}$ est la constante héliocentrique de la gravitationModèle:Sfn.

Modèle:Quoi recommandéesModèle:Refnec du paramètre de masse solaires sont :

• $G{M}_{\mathrm{S}}=1,32712442099\times 10^{20}(\pm 1\times 10^{10}){\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$
• $G{M}_{\mathrm{S}}=1,32712440041\times 10^{20}(\pm 1\times 10^{10}){\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$

Dimension et unité

La dimension du carré de la constante de Gauss est celle de la constante de gravitation :

$[k^2]=[G]={\mathrm{L}}^{\mathrm{3}}{\mathrm{M}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{T}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$,

où $[k^2]$ et $[G]$ sont la dimension du carré de la constante de Gauss et celle de la constante de gravitation.

La dimension de la constante de Gauss est celle de la vitesse angulaire ou pulsation :

$[k]={\mathrm{T}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\cdot 1$

où ${\mathrm{T}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ est la dimension d'une vitesse et $1$ la dimension d'un angle plan, grandeur adimensionnelle.

Bien que, dans le Système international d'unités, l'unité dérivée pour la vitesse angulaire, ou pulsation, soit le radian par seconde, la constante de Gauss est habituellement exprimée en radian par jour.

Valeur

Dans le système astronomique d'unités, la constante associée au Système solaire vaut :

$k=0,01720209895A^{\frac{3}{2}}{D}^{-1}{S}^{-\frac{1}{2}}$

avec :

• $A$ l'unité astronomique,
• $D$ le jour solaire moyen,
• $S$ la masse solaire.

Si, à la place du jour solaire moyen, on utilise l'année sidérale comme unité de temps, la valeur de $k$ est alors très proche de $2\pi$.

Cette valeur de Modèle:Nb, calculée par Gauss, est encore en usage.

Déterminations contemporaines

Modèle:... Simon Newcomb la recalcule pour son Modèle:Lien.

Interprétation

La constante de Gauss représente la vitesse angulaire moyenne, en radian par jour, à laquelle une particule de masse infinitésimale se déplacerait, autour du Soleil, sur une orbite newtonienne circulaire non perturbée de rayon approximativement égal à la distance moyenne entre le Soleil et la TerreModèle:Sfn.

Applications

Année gaussienne

Une année gaussienne est l'année sidérale d'une planète hypothétique d'une masse négligeable par rapport à celle du Soleil, dont l'orbite ne serait pas perturbée par les autres planètes et qui serait gouvernée par la constante gravitationnelle de Gauss (dans le cadre de la troisième loi de Kepler). De ces contraintes, on en déduit que l'année gaussienne est égale à Modèle:Unité (soit Modèle:Nobr).

Définition de la seconde

De 1956 à 1967, la constante gravitationnelle de Gauss est à la base de la définition internationale de la seconde. Elle fait partie du système astronomique d'unités depuis 1952.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Publication de Carl Friedrich Gauss

• Modèle:Ouvrage, réimpr. : Modèle:Ouvrage :
  • Modèle:Ouvrage

Publication d'Urbain Le Verrier

• Modèle:Chapitre.

Publication de Simon Newcomb

• Modèle:Ouvrage.

Publications de l'Union astronomique internationale

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Publications du Bureau international des poids et mesures

• Modèle:Ouvrage

Publications du Bureau des longitudes

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Publications de l'Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides

• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Constante gravitationnelle

Liens externes

• Modèle:En Gaussian Gravitational Constant sur Modèle:Lien