Constante de Gauss

Modèle:Ébauche En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de deuxModèle:SfnModèle:,Modèle:, :

$G=\frac{1}{M(1,\sqrt{2})}\approx 0,8346268$Modèle:Note.

L'éponyme de cette constante est le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (Modèle:Date--Modèle:Date-) car il a découvert le Modèle:DateModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Note à BrunswickModèle:Note que :

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}$.

Relation avec d'autres constantes

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

$G=\frac{1}{2\pi }\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

$G=\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}{)}^2/(2\pi {)}^{3/2}$

et puisque Modèle:Math et Modèle:Math sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.

• La première est

  $L_1=\pi G=\frac{L}{2}$

  où $L=\frac{{(\mathrm{\Gamma }(1/4))}^2}{\sqrt{2\pi }}$ est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre Modèle:Math

• La seconde est

  $L_2=\frac{1}{2G}$.

Autres formules

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

$G={\vartheta }_{01}^2({\mathrm{e}}^{-\pi })$.

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

$G=\sqrt[4]{32}{\mathrm{e}}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{-2n\pi (3n+1)})}^2$.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right)$.

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …]Modèle:Note.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Lemniscate
• Fonction lemniscatique

Liens externes

• Modèle:Lien web.
• Modèle:Lien web.
• Modèle:MathWorld.