Fonction lemniscatique

Sinus lemniscatique (en noir) et cosinus lemniscatique (en bleu) ; en gris clair, pour comparaison, la fonction sinus usuelle après changement d'échelle : c'est en fait la fonction $x\mapsto \sin (\frac{x}{G})$.

En mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de Weierstrass dont les invariants sont Modèle:Math et Modèle:Math. Dans le cas des fonctions lemniscatiques, ces périodes (Modèle:Math et Modèle:Math) sont liées à la constante de Gauss Modèle:Math ; on a ${\omega }_1=2\pi G=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{4}\right)}{\sqrt{2\pi }}$ (où Modèle:Math est la fonction gamma).

Modèle:AnchorFonctions sinus et cosinus lemniscatiques

Le sinus lemniscatique (en latin Modèle:Lang) et le cosinus lemniscatique (en latin Modèle:Lang) (notés Modèle:Math ou Modèle:Math et Modèle:Math ou Modèle:Math) sont des analogues des fonctions sinus et cosinus usuelles, en remplaçant le cercle par une lemniscate (de Bernoulli). Elles sont définies (puis prolongées par symétrie et périodicité) par

$\mathrm{sl}(r)=s,\text{avec}r=\underset{0}{\overset{s}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$

et

$\mathrm{cl}(r)=c,\text{avec}r=\underset{c}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$ (les fonctions trigonométriques usuelles peuvent être définies de même, en remplaçant Modèle:Math par Modèle:Math).

Leurs prolongements analytiques au plan complexe sont des fonctions elliptiques doublement périodiques, de périodes ${\omega }_1=2\pi G$ et $\mathrm{i}{\omega }_1=2\mathrm{i}\pi G$, où Modèle:Math est la constante de Gauss donnée par $G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=0.8346\dots .$ et Modèle:Math l'unité imaginaire ; la demi-période Modèle:Math (analogue du nombre Modèle:Math en trigonométrie) est souvent notée $\varpi$. Les graphes des deux fonctions ont des symétries et des relations entre eux analogues à celles des graphes des fonctions trigonométriques (en remplaçant Modèle:Math par $\varpi$) ; en particulier $\mathrm{cl}(x)=\mathrm{sl}(\frac{\varpi }{2}-x)$ (symétrie par rapport à l'axe d'équation $X=\frac{\varpi }{4}$).

Longueur d'un arc de lemniscate

Relation entre la longueur s de l'arc de lemniscate et la distance à l'origine, r.
L'arc dans chaque quadrant (un quart de la lemniscate) est de longueur totale $\frac{{\omega }_1}{4}=\frac{\pi G}{2}$. Les foyers sont les points de coordonnées $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0)$.

La lemniscate de Bernoulli, d'équation cartésienne ${(x^2+y^2)}^2=x^2-y^2$, est formée des points dont le produit des distances aux deux points Modèle:Math, Modèle:Math (les foyers) est constant et vaut Modèle:Sfrac. La longueur Modèle:Math de l'arc le plus court allant de l'origine à un point situé à la distance Modèle:Math de cette origine est donnée par $r=\underset{0}{\overset{s}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}},$ et par conséquent les fonctions lemniscatiques donnent la distance à l'origine en fonction de la longueur des arcs.

Propriétés algébriques

On a entre le sinus et le cosinus lemniscatique la relation

$(\mathrm{s}\mathrm{l}(x{)}^2+1)\cdot (\mathrm{c}\mathrm{l}(x{)}^2+1)=2$, qu'on peut réécrire

$\mathrm{c}\mathrm{l}(x{)}^2=\frac{1-\mathrm{s}\mathrm{l}(x{)}^2}{1+\mathrm{s}\mathrm{l}(x{)}^2}$.

On a également des formules d'addition  :

$\mathrm{s}\mathrm{l}(a+b)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(b)+\mathrm{c}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b)}{1-\mathrm{s}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(b)}$

$\mathrm{c}\mathrm{l}(a+b)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(b)-\mathrm{s}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b)}{1+\mathrm{s}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(b)}$

qui s'écrivent aussi :

$\mathrm{s}\mathrm{l}(a+b)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{s}{\mathrm{l}}^{\prime }(b)+\mathrm{s}{\mathrm{l}}^{\prime }(a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b)}{1+\mathrm{s}\mathrm{l}(a{)}^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b{)}^2}$, où ${\mathrm{s}\mathrm{l}}^{\prime }=\mathrm{c}\mathrm{l}\cdot ({\mathrm{s}\mathrm{l}}^2+1)$ est la dérivée de sl (voir la section suivante).

En utilisant la fonction arc tangente, ces formules se simplifient en :

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{s}\mathrm{l}(a+b))=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{s}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(b))+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{c}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b))$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{c}\mathrm{l}(a+b))=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{c}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(b))-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{s}\mathrm{l}(a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(b))$

très proches sous cette forme des formules d'addition des fonctions trigonométriques.

Dérivées

Ces fonctions ont les dérivées suivantes :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{s}\mathrm{l}(x)=\mathrm{c}\mathrm{l}(x)\cdot (\mathrm{s}\mathrm{l}(x{)}^2+1)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{c}\mathrm{l}(x)=-\mathrm{s}\mathrm{l}(x)\cdot (\mathrm{c}\mathrm{l}(x{)}^2+1)$,

d'où l'on déduit les dérivées secondes :

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{s}\mathrm{l}(x)=-2\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(x{)}^3$

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{c}\mathrm{l}(x)=-2\cdot \mathrm{c}\mathrm{l}(x{)}^3$

Ces fonctions sont solutions de l'équation différentielle

$y^{″}=-2y^3$

Utilisant la fonction arc tangente, on a les relations plus simples :

$\mathrm{c}\mathrm{l}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan (\mathrm{s}\mathrm{l}(x))$

$\mathrm{s}\mathrm{l}(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan (\mathrm{c}\mathrm{l}(x))$.

Valeurs remarquables

On a les valeurs remarquables du sinus lemniscatique suivantes (on rappelle que $\varpi =\frac{{\omega }_1}{2}$ est la demi-période) :

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{2}\right)=1$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{4}\right)=\sqrt{\sqrt{2}-1}$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{6}\right)=\frac{1}{2}\cdot (-\sqrt[4]{12}+\sqrt{3}+1)$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{3}\right)=\frac{\sqrt[8]{3}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \sqrt{\sqrt{3}-1}$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{8}\right)=\sqrt{(\sqrt[4]{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1-\sqrt{2+\sqrt{2}})}$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{3\cdot \varpi }{8}\right)=\sqrt{(\sqrt[4]{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1+\sqrt{2+\sqrt{2}})}$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{10}\right)=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt[4]{5}-1)\cdot (\sqrt{\sqrt{5}+2}-1)$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{5}\right)=\frac{1}{2\cdot \sqrt[4]{2}}\cdot (\sqrt{5}-1)\cdot \sqrt{\sqrt[4]{20}-\sqrt{\sqrt{5}-1}}$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{3\cdot \varpi }{10}\right)=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt[4]{5}-1)\cdot (\sqrt{\sqrt{5}+2}+1)$

$\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{2\cdot \varpi }{5}\right)=\frac{1}{2\cdot \sqrt[4]{2}}\cdot (\sqrt{5}-1)\cdot \sqrt{\sqrt[4]{20}+\sqrt{\sqrt{5}-1}}$

La relation ${\mathrm{c}\mathrm{l}}^2=\frac{1-{\mathrm{s}\mathrm{l}}^2}{1+{\mathrm{s}\mathrm{l}}^2}$ permet d'en déduire les valeurs de Modèle:Math ; par exemple, on peut obtenir par simple symétrie :

$\mathrm{c}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{4}\right)=\mathrm{s}\mathrm{l}\left(\frac{\varpi }{4}\right)=\sqrt{\sqrt{2}-1}$.

Fonctions réciproques

Modèle:Section vide ou incomplète La fonction réciproque de la fonction sinus lemniscatique, notée Modèle:Math, est définie par la relation Modèle:Math, valable dans des intervalles convenables (la restriction de Modèle:Math aux intervalles [-1,1] et $[\frac{-\varpi }{2},\frac{\varpi }{2}]$ étant une bijection). On voit aisément, en revenant à la définition, que Modèle:Math est la primitive de la fonction $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}$ qui s'annule en 0 ; cette primitive est une intégrale elliptique de première espèce, valant plus précisément $F(\arcsin x|-1)$.

Voir aussi

• Constante de Gauss

Références

• Modèle:Article

Liens externes

• Modèle:Springer