Lemniscate de Bernoulli

La lemniscate de Bernoulli.

La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane unicursale. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.

Histoire

La lemniscate de Bernoulli fait partie d'une famille de courbes décrite par Jean-Dominique Cassini en 1680, les ovales de Cassini. Jacques Bernoulli la redécouvre en 1694 au détour de travaux sur l'ellipse, et la baptise Modèle:Traduction. Le problème de la longueur des arcs de la lemniscate est traité par Giulio Fagnano en 1750.

Définition géométrique

Une lemniscate de Bernoulli.

Une lemniscate de Bernoulli est l'ensemble des points Modèle:Math vérifiant la relation :

$\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{\times }\mathrm{M}{\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{O}{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$

où Modèle:Math et Modèle:Math sont deux points fixes et Modèle:Math leur Modèle:Page h'. Les points Modèle:Math et Modèle:Math sont appelés les foyers de la lemniscate, et Modèle:Math son centre.

Alternativement, on peut définir une lemniscate de Bernoulli comme l'ensemble des points Modèle:Math vérifiant la relation :

$\mathrm{|}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{-}\mathrm{M}{\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{O}\mathrm{M}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{.}$

La première relation est appelée « équation bipolaire », et la seconde « équation tripolaire ».

La courbe ainsi définie fait partie de la famille des lemniscates (courbes en forme de 8), dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d'ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement.

Équations dans différents systèmes de coordonnées

Au moyen de la demi-distance focale Modèle:Math

Posons Modèle:Math. En coordonnées polaires (l'axe polaire étant Modèle:Math), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :

${\rho }^2=2d^2\cos 2\theta (-\frac{\pi }{4}\le \theta [\pi ]\le +\frac{\pi }{4}).$

En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant Modèle:Math), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite) :

$(x^2+y^2{)}^2=2d^2(x^2-y^2).$

Modèle:Démonstration L'abscisse Modèle:Math décrit l'intervalle $[-d\sqrt{2},d\sqrt{2}]$ (les bornes sont atteintes pour Modèle:Math). L'ordonnée Modèle:Math décrit l'intervalle $[-\frac{d}{2},\frac{d}{2}]$ (les bornes sont atteintes pour $x=\pm d\frac{\sqrt{3}}{2}$ ).

Il est possible d'expliciter Modèle:Math en fonction de Modèle:Math :

$y=\pm d\sqrt{\sqrt{1+4{\left(\frac{x}{d}\right)}^2}-[1+{\left(\frac{x}{d}\right)}^2]}(|x|\le d\sqrt{2})$

Modèle:Démonstration mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de Modèle:Math.

Représentations paramétriques

En partant de l'équation en coordonnées polaires Modèle:Math on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire Modèle:Math :

$\{\begin{array}{c}x=d\cos \theta \sqrt{2\cos 2\theta }\\ y=d\sin \theta \sqrt{2\cos 2\theta }\end{array}$

Modèle:Démonstration Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math puis de Modèle:Math à Modèle:Math, une variation qui n'est pas continue ni monotone.

Une meilleure représentation paramétrique est donnée par :

$\{\begin{array}{c}x=d\sqrt{2}\frac{\sin \phi }{1+{\cos }^2\phi }\\ \\ y=d\sqrt{2}\frac{\sin \phi \cos \phi }{1+{\cos }^2\phi }\end{array}$

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math. Le paramètre Modèle:Math est directement relié à l'angle polaire par la relation Modèle:Math, ou Modèle:Math.

On peut aussi convertir la représentation précédente, trigonométrique, en une représentation paramétrique rationnelle :

$\{\begin{array}{c}x=d\sqrt{2}\frac{t+t^3}{1+t^4}\\ \\ y=d\sqrt{2}\frac{t-t^3}{1+t^4}.\end{array}$

Modèle:Démonstration La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math. Le paramètre Modèle:Math est directement relié à l'angle Modèle:Math par la relation Modèle:Math.

Au moyen du demi-axe Modèle:Math

La plupart des équations précédentes sont un peu plus simples et naturelles si l'on pose $a=d\sqrt{2}$  (demi-axe de la lemniscate).

En coordonnées polaires (l'axe polaire étant Modèle:Math), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :

${\rho }^2=a^2\cos 2\theta (-\frac{\pi }{4}\le \theta [\pi ]\le +\frac{\pi }{4}).$

En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant Modèle:Math), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite) :

$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2).$

L'abscisse Modèle:Math décrit l'intervalle Modèle:Math (les bornes sont atteintes pour Modèle:Math). L'ordonnée Modèle:Math décrit l'intervalle $[-\frac{a}{2\sqrt{2}},\frac{a}{2\sqrt{2}}]$ (les bornes sont atteintes pour $x=\pm a\frac{\sqrt{6}}{4}$ ). La demi-distance focale est $\mathrm{O}\mathrm{F}=\mathrm{O}{\mathrm{F}}^{\prime }=\frac{a}{\sqrt{2}}.$

Il est possible d'expliciter Modèle:Math en fonction de Modèle:Math :

$y=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{\sqrt{1+8{\left(\frac{x}{a}\right)}^2}-[1+2{\left(\frac{x}{a}\right)}^2]}(|x|\le a)$

mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de Modèle:Math.

Représentations paramétriques

En partant de l'équation en coordonnées polaires Modèle:Math on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire Modèle:Math :

$\{\begin{array}{c}x=a\cos \theta \sqrt{\cos 2\theta }\\ y=a\sin \theta \sqrt{\cos 2\theta }\end{array}$

Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math puis de Modèle:Math à Modèle:Math, une variation qui n'est pas continue ni monotone.

Une meilleure représentation paramétrique est donnée par :

$\{\begin{array}{c}x=a\frac{\sin \phi }{1+{\cos }^2\phi }\\ \\ y=a\frac{\sin \phi \cos \phi }{1+{\cos }^2\phi }\end{array}$

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math. Le paramètre Modèle:Math est directement relié à l'angle polaire par la relation Modèle:Math, ou Modèle:Math.

On peut aussi convertir la représentation précédente, trigonométrique, en une représentation paramétrique rationnelle :

$\{\begin{array}{c}x=a\frac{t+t^3}{1+t^4}\\ \\ y=a\frac{t-t^3}{1+t^4}.\end{array}$

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math. Le paramètre Modèle:Math est directement relié à l'angle Modèle:Math par la relation Modèle:Math.

Propriétés

Longueur

La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut :

$L=\frac{2\pi a}{M(1,\sqrt{2})}=4a\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^4}}=2\sqrt{2}K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)a=\frac{{(\mathrm{\Gamma }(1/4))}^2}{\sqrt{2\pi }}a\simeq 5,24412a$

où Modèle:Math désigne la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, $K(1/\sqrt{2})$ est une intégrale elliptique de première espèce et Modèle:Math est la fonction gamma.

Superficie

L'aire de la lemniscate de Bernoulli est égale à l'aire des deux carrés bleus

L'aire délimitée par la lemniscate de Bernoulli vaut :

$S=a^2=2d^2.$

Quadrature de la lemniscate : impossible pour le cercle, la quadrature exacte est possible pour la lemniscate de Bernoulli. Son aire est en effet égale à celle de deux carrés égaux (le côté des carrés étant la distance entre le centre et un foyer de la lemniscate). Cette aire est aussi égale à l'aire d'un carré dont le côté est la distance séparant le centre d'un sommet de la lemniscate.

Familles de courbes

La lemniscate de Bernoulli est un cas particulier d'ovale de Cassini, de lemniscate de Booth, de spirale sinusoïdale et de spirique de Persée.

La podaire d'une hyperbole équilatère (en bleu) est une lemniscate de Bernoulli (en rouge).

Relation avec l'hyperbole équilatère

La podaire d'une hyperbole équilatère par rapport à son centre est une lemniscate de Bernoulli.

Relation avec les triangles

Pour deux points B et C et un angle α aigu fixe, une lemniscate de Bernoulli est le lieu des points A tels que, dans le triangle ABC, la médiane issue de A et sa symédiane forment un angle α ; le centre de la lemniscate est alors le milieu de [BC].

Le symbole de l'infini ?

La lemniscate de Bernoulli est souvent considérée comme une courbe qui se parcourt sans fin. Cette caractéristique de la lemniscate serait à l'origine du symbole de l'infini, ∞, mais une autre version vient contredire cette hypothèse, l'invention du symbole étant attribuée au mathématicien John Wallis, contemporain de Bernoulli.

Voir aussi

• Fonction lemniscatique

Liens externes

• Coup d’œil sur la lemniscate de Bernoulli, sur le site du CNRS.
• Lemniscate de Bernoulli, sur MathCurve.
• Modèle:MathWorld