Symédiane
En géométrie, les symédianes d'un triangle désignent des droites particulières de cette figure : ce sont les droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices[1].
La symédiane en un sommet Modèle:Mvar d'un triangle est l'isogonale de la médiane par rapport aux côtés de l'angle Modèle:Mvar.
Si est la longueur de la médiane issue de Modèle:Mvar, alors la longueur de la symédiane issue de Modèle:Mvar est donnée par la formule Modèle:Clr
Point de Lemoine
Émile Lemoine a démontré en 1873 que les trois symédianes d'un triangle d'un plan affine euclidien sont concourantes[2]; il les appelle « médiane antiparallèle » et leur intersection « centre des médianes antiparallèles[3]», le terme de « symédiane » sera introduit par Maurice d'Ocagne en 1880[4]Modèle:,[5]. Leur point d'intersection s'appelle le point de Lemoine du triangle Modèle:Mvar. De ce fait, c'est le conjugué isogonal du centre de gravité Modèle:Mvar du triangle.
Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Il s'ensuit que le point de Lemoine est le barycentre des points pondérés : Modèle:Math.
Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ces côtés.
C'est le point dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale[6].
Le point de Lemoine est le centre de gravité du triangle formé par ses projections orthogonales sur les trois côtés du triangle Modèle:Mvar.
Ce point est aussi appelé point de Grèbe par les auteurs allemands.
Le point de Lemoine (de nombre de Kimberling X(6)) est à l'intersection de la droite de Fermat (qui passe par les deux points de Fermat-Torricelli), de la droite de Napoléon (qui passe par les deux points de Napoléon) et de la droite reliant les deux points de Vecten.
Droite de Lemoine
La droite de Lemoine du triangle est la polaire du point de Lemoine par rapport au cercle circonscrit du triangle. C'est sur cette droite que reposent aussi les trois centres des cercles d'Apollonius, cercles correspondants aux triplets Modèle:Math.
Constructions des symédianes
Par les antiparallèles aux côtés du triangle
La symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu.
Soit Modèle:Mvar un point mobile de la médiane Modèle:Math du triangle Modèle:Mvar, et Modèle:Math une antiparallèle à Modèle:Math qui coupe la symédiane issue du sommet Modèle:Mvar en Modèle:Mvar.
L'antiparallèle Modèle:Math est parallèle à la tangente en Modèle:Mvar au cercle circonscrit de Modèle:Mvar.
Par la symétrie d'axe la bissectrice Modèle:Math de , les points Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar ont pour images Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar.
Modèle:Math est parallèle à Modèle:Math. Modèle:Mvar, situé sur la médiane Modèle:Math, est le milieu de Modèle:Math. Par symétrie réciproque, Modèle:Mvar est le milieu de Modèle:Math.
Réciproque
Dans le triangle Modèle:Mvar, soit Modèle:Mvar le milieu de Modèle:Math une antiparallèle à Modèle:Math. On montre que Modèle:Math est la symédiane passant par Modèle:Mvar :
La droite Modèle:Math est la conjuguée harmonique de la tangente en Modèle:Mvar au cercle circonscrit par rapport à Modèle:Math.
La droite Modèle:Math est donc la polaire, par rapport au cercle circonscrit du point Modèle:Mvar, intersection de (BC) avec la tangente en Modèle:Mvar au cercle circonscrit.
Par réciprocité polaire, la droite Modèle:Math contient le pôle Modèle:Mvar de (BC). Modèle:Math est la symédiane issue de Modèle:Mvar.
Application : cercles de Tücker
Par les tangentes à un cercle circonscrit
Pour un triangle Modèle:Math, soit Modèle:Mvar l'intersection des tangentes au cercle circonscrit en Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Alors Modèle:Math est la symédiane en Modèle:Mvar de Modèle:Math[7].
De façon similaire, on a la construction suivante : la symédiane de Modèle:Mvar de Modèle:Math est la tangente en Modèle:Mvar du triangle Modèle:Math où Modèle:Mvar est le symétrique de Modèle:Mvar par rapport à Modèle:Mvar[8].
Références
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, Modèle:ISBN