Fonction implicite

En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation.

Plus précisément si Modèle:Math est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation Modèle:Math définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples Modèle:Math vérifiant l'équation.

Ou encore, l'équation Modèle:Math définit une fonction implicite de E vers F, s'il existe une fonction Modèle:Math dite explicite telle que , pour tout Modèle:Math de E × F, Modèle:Math équivaut à Modèle:Math. Cela revient à dire que le graphe de la relation binaire : Modèle:Math est le graphe d'une fonction.

Il est parfois possible de prouver l'existence locale d'une fonction implicite pour une équation touchant deux variables réelles, sans l'exhiber explicitement, les conditions suffisantes d'existence et d'unicité d'une telle fonction sont détaillées dans l'article : théorème des fonctions implicites.

Exemples

• Considérons l'équation $x^5-x^{4}y+y^3-x^2{y}^6=0$. Les points de ${ℝ}^2$ dont les coordonnées vérifient cette équation forment une courbe $\mathrm{\Gamma }$ qui passe par le point $(1,1)$. Est-ce que $\mathrm{\Gamma }$ possède une tangente en ce point? Si oui, comment la trouver ? C'est ce genre de problèmes auxquels on s'intéresseModèle:,Modèle:,.
• L'équation $(x^2+y^2{)}^2=2(x^2-y^2)$ est associée à la lemniscate de Bernoulli.

courbe algébrique

• l'équation Modèle:Math ne définit pas de fonction implicite pour Modèle:Math quelconque, mais pour Modèle:Math positif, cette équation est équivalente à Modèle:Math et Modèle:Math est la fonction explicite associée à l'équation.
• l'équation Modèle:Math permet de définir la fonction implicite Modèle:Math.

• L'équation $y^5-4y^4+4x{y}^2-x^2=0$ définit $y$ comme fonction implicite de $x$. On ne sait pas exprimer cette fonction explicitement à l'aide de fonctions élémentaires. Par contre, on peut exprimer $x$ en fonction de $y$ : on a $x=2y^2\mp y^{5/2}$.
• si Modèle:Math est une bijection de E vers F, l'équation Modèle:Math induit une fonction implicite de F vers E appelée application réciproque et notée Modèle:Math.

Dérivée d'une fonction implicite

Il est parfois possible et plus simple de dériver une fonction implicite sous sa forme non explicite.

Si Modèle:Math est une fonction numérique de deux variables réelles, continue au voisinage de Modèle:Math et différentiable en Modèle:Math, et si la dérivée partielle de Modèle:Math par rapport à la seconde variable est continue et ne s'annule pas en Modèle:Math, la dérivée de Modèle:Math en Modèle:Math est:

Cette formule peut s'expliquer en remarquant que le gradient de Modèle:Math en Modèle:Math a pour coordonnées : Modèle:Retrait

et indique la direction de plus forte variation de Modèle:Math, tandis que le vecteur Modèle:Retrait qui lui est normal indique la direction de variation nulle, c'est-à-dire la direction de la tangente à la courbe d'équation Modèle:Math.

ExempleModèle:, : l'équation Modèle:Math est associée à la fonction Modèle:Math qui est de classe CModèle:1, c'est-à-dire qu'elle est différentiable de différentielle continue. Comme Modèle:Retrait pour tout point Modèle:Math$\ne (-1,0),(1,0)$, on a Modèle:Retrait

Une telle dérivation peut être utile dans le cas où la fonction est impossible à expliciter

Exemple : L'équation Modèle:Math est associée à une fonction Modèle:Math de classe CModèle:1. Le graphe de l'équation est celui d'une fonction car, pour tout valeur de x, il existe au plus une valeur de y rendant vraie l'égalité. Comme Modèle:Retrait pour tout point Modèle:Math, avec Modèle:Math, on a Modèle:Retrait En particulier, pour Modèle:Math et Modèle:Math, Modèle:Math

Voir aussi

• Équation cartésienne

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage