Variété algébrique

Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques.

Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés. On utilise ici le deuxième point de vue, plus classique.

Définition

Une variété algébrique est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. Elle peut être vue comme un espace topologique muni de cartes locales qui sont des variétés affines, et dont les applications de transition sont des applications polynomiales.

L'espace topologique sous-jacent d'une variété algébrique est localement un ensemble algébrique affine lorsque le corps de base est algébriquement clos.

Variétés algébriques

On fixe un corps k. Un espace localement annelé $(X,O_X)$ en k-algèbres est constitué d'un espace topologique Modèle:Mvar et d'un faisceau de k-algèbres $O_X$ sur Modèle:Mvar tel que les germes $O_{X,x}$ aux points Modèle:Mvar de Modèle:Mvar sont des anneaux locaux.

Une variété algébrique sur k est un espace localement annelé $(X,O_X)$ en k-algèbres qui admet un recouvrement fini par des ouverts affines $X_i$ (c'est-à-dire que l'espace $(X_i,O_X{|}_{X_i})$ est une variété affine). Bien que la structure d'une variété algébrique $(X,O_X)$ dépende du faisceau structural $O_X$, notamment pour les variétés non réduites, on note généralement une variété algébrique simplement par Modèle:Mvar sans $O_X$.

Si Modèle:Mvar est une partie ouverte de Modèle:Mvar, les éléments de l'anneau $O_X(U)$ s'appellent les fonctions régulières sur Modèle:Mvar. Dans des situations favorables, les fonctions régulières s'identifient à des applications de Modèle:Mvar dans k.

Exemples

• Les variétés affines sont par définition des variétés algébriques.
• Les variétés projectives sont des variétés algébriques. Une variété projective est affine si et seulement si elle est de dimension 0, c'est-à-dire consiste en un nombre fini de points.
• Soit Modèle:Mvar le plan affine $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}k[T,S]$, soit $x_0=(0,0)$ le point de Modèle:Mvar correspondant à l'idéal maximal de $k[T,S]$ engendré par $T,S$. Alors le complémentaire Modèle:Mvar de $x_0$ est une partie ouverte. Une fonction régulière Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar doit être régulière sur la partie ouverte $D(T)\subset U$, donc Modèle:Mvar est une fraction rationnelle de dénominateur une puissance de $T$. Par symétrie, elle a aussi pour dénominateur une puissance de $S$. On conclut que $f\in k[T,S]$. On montre que Modèle:Mvar n'est ni une variété affine, ni une variété projective. Elle est cependant quasi-affine, c'est-à-dire ouvert d'une variété affine.

Fonctions régulières vues comme des fonctions

Soit Modèle:Mvar une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k. On fixe un ouvert Modèle:Mvar et une fonction régulière $f\in O_X(U)$. On veut identifier Modèle:Mvar à une application de Modèle:Mvar dans k.

Pour tout $x\in X$, le corps résiduel $k(x)$ en Modèle:Mvar est égal à Modèle:Mvar. En effet, si l'on prend un voisinage ouvert affine $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}A$ de Modèle:Mvar. Alors Modèle:Mvar correspond à un idéal maximal $M\subseteq A$. Par le théorème des zéros de Hilbert, on a $A/M=k$. Par ailleurs, le corps résiduel de $(X,O_X)$ est précisément $A/M$. On note $f(x)$ l'image canonique de Modèle:Mvar dans k par $O_X(U)\to O_{X,x}\to k(x)=k$. Donc on obtient une application $U\to k$ qui à Modèle:Mvar associe $f(x)$.

On suppose de plus que Modèle:Mvar est une variété réduite, c'est-à-dire que $O_X(U)$ est un anneau réduit pour tout ouvert Modèle:Mvar (cela revient à dire que Modèle:Mvar est une rénion finie d'ouverts affines $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}{A}_i$, avec les $A_i$ réduits). Alors à l'aide du théorème des zéros de Hilbert, on montre sans peine que l'application $x\mapsto f(x)$ est identiquement nulle si et seulement si $f\in O_X(U)$ est nul. Ainsi l'anneau des fonctions régulières sur Modèle:Mvar s'identifie à un sous-anneau de l'ensemble des fonctions $U\to k$. Lorsque U est un ensemble algébrique affine $Z(P_1,\dots ,P_r)$ dans $k^n$, une fonction régulière est alors simplement la restriction à U d'une application polynomiale $k^n\to k$.

Morphismes

Un morphisme de variétés algébriques $f:X\to Y$ sur k est un morphisme d'espaces localement annelés sur k. Il est donc constitué d'une application continue $f:X\to Y$ et d'un morphisme de faisceaux de k-algèbres $f^{\mathrm{\#}}:O_Y\to f_{*}(O_X)$.

On peut expliciter le morphisme $f^{\mathrm{\#}}$ comme suit. Si $V$ est un ouvert de $Y$ et $U=f^{-1}(V)$, alors $f^{\mathrm{\#}}(V):O_Y(V)\to O_X(U)$ est un morphisme de k-algèbres, avec en plus une compatibilité avec les structures des anneaux locaux. Quand on peut identifier les fonctions régulières $g\in O_Y(V)$ comme des fonctions sur $V$, alors $f^{\mathrm{\#}}(V)$ envoie une fonction régulière $g:V\to k$ vers la fonction $g\circ f:U\to k$.

En général on omet $f^{\mathrm{\#}}$ dans la notation du morphisme $(f,f^{\mathrm{\#}})$.

Étant donnés deux morphismes de variétés algébriques $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ sur le même corps, on peut les composer et obtenir un morphisme $g\circ f:X\to Z$.

Le morphisme identité sur Modèle:Mvar est constitué de l'application identité $X\to X$, et du morphisme identité sur $O_X\to O_X$.

Un isomorphisme est un morphisme $f:X\to Y$ qui admet un inverse. Cela revient à dire que l'application Modèle:Mvar est un homémorphisme et que $f^{\mathrm{\#}}:O_Y\to f_{*}(O_X)$ est un isomorphisme. Deux variétés algébriques sont dites isomorphes s'il existe entre eux un isomorphisme de variétés algébriques.

La classe des variétés algébriques sur k forment une catégorie.

• Morphismes vers une variété algébrique affine

  Soit $Y$ une variété algébrique affine associée à une k-algèbre Modèle:Mvar. Pour tout morphisme de variétés algébriques $f:X\to Y$, le morphisme de faisceaux $O_Y\to f_{*}{O}_X$ fournit, en prenant les sections sur $Y$, un morphisme de Modèle:Mvar-algèbres $A\to O(X)$.

• Proposition L'application Mor${}_k(X,\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}(A))\to$Hom${}_{k-alg}(A,O(X))$ est bijective et fonctorielle en Modèle:Mvar et en Modèle:Mvar.

  Restreinte aux variétés affines Modèle:Mvar, cette proposition dit que la catégorie des variétés algébriques affines sur Modèle:Mvar est équivalente à la catégorie (opposée) des algèbres de type fini sur Modèle:Mvar.

Immersions et sous-variétés

Une sous-variété ouverte d'une variété algébrique Modèle:Mvar est une partie ouverte Modèle:Mvar de Modèle:Mvar munie du faisceau de Modèle:Mvar-algèbres $O_X{|}_U$. Une sous-variété ouverte d'une variété algébrique est une variété algébrique. Une partie ouverte de Modèle:Mvar est toujours implicitement munie de cette structure de sous-variété ouverte.

On dit qu'un morphisme de variétés algébriques $f:X\to Y$ est une immersion ouverte si Modèle:Mvar est une immersion ouverte topologique et s'il induit un isomorphisme de variétés algébriques entre Modèle:Mvar et la sous-variété ouverte $f(X)$ de $Y$.

Toute variété affine est une sous-variété ouverte d'une variété projective.

On dit qu'un morphisme de variétés algébriques $f:X\to Y$ est une immersion fermée si Modèle:Mvar est une immersion fermée topologique et si le morphisme de faisceaux $O_Y\to f_{*}{O}_X$ est surjectif.

Une sous-variété fermée de Modèle:Mvar est une partie fermée Modèle:Mvar de Modèle:Mvar munie d'une structure de variété algébrique de sorte que l'inclusion canonique $Z\to X$ soit l'application sous-jacentes à une immersion fermée de variétés algébriques $Z\to X$.

Toute partie fermée de Modèle:Mvar peut être munie d'une structure de sous-variété fermée (unique si on exige la sous-variété à être réduite).

On montre que toute sous-variété fermée d'une variété algébrique affine est affine, et que toute sous-variété fermée d'une variété projective est projective.

Une immersion de variétés algébriques est une composition (dans n'importe quel sens) d'une immersion ouverte et d'une immersion fermée. Une sous-variété est une sous-variété ouverte d'une sous-variété fermée (et aussi sous-variété fermée d'une sous-variété ouverte).

Une variété quasi-affine est une sous-variété d'une variété affine. Une variété quasi-projective est une sous-variété d'une variété projective. Ainsi quasi-affine implique quasi-projective.

Points rationnels

Le théorème des zéros de Hilbert décrit une bijection entre les points de l'espace affine $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}k[T_1,\dots ,T_n]$ et $k^n$ lorsque Modèle:Mvar est algébriquement clos. Sur un corps quelconque (surtout pour des raisons arithmétiques), il y a lieu d'étudier les points qui restent dans cette correspondance, ce sont les points rationnels.

Soit Modèle:Mvar une variété algébrique sur un corps Modèle:Mvar. Un point Modèle:Mvar de Modèle:Mvar est appelé un point rationnel (sur Modèle:Mvar) si le corps résiduel $O_{X,x}/m_x$ en Modèle:Mvar, qui contient toujours Modèle:Mvar, est égal à Modèle:Mvar. L'ensemble des points rationnels de Modèle:Mvar est noté $X(k)$. Un point d'une sous-variété est rationnel si et seulement s'il est rationnel vu comme point dans la variété ambiante.

Si $f:X\to Y$ est un morphisme, alors Modèle:Mvar envoie les points rationnels de Modèle:Mvar en des points rationnels de $Y$. Mais en général, au-dessus d'un point rationnel de $Y$, il n'existe pas nécessairement de point rationnel de Modèle:Mvar (considérer $Y=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}k$ et $X=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}K$, où Modèle:Mvar est une extension finie non triviale de Modèle:Mvar).

Un point d'une variété algébrique affine associée à $A=k[T_1,\dots ,T_n]/I$ est rationnel si et seulement si l'idéal maximal de Modèle:Mvar correspondant est engendré par les classes de $T_1-a_1,\dots ,T_n-a_n$ pour un point $(a_1,\dots ,a_n)$ de $k^n$ (qui sera nécessairement un zéro commun des éléments de $I$). En particulier, les points rationnels de l'espace affine $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}k[T_1,\dots ,T_n]$ correspondent bijectivement à $k^n$. Cela relie les solutions d'un système d'équations polynomiales à l'ensemble des points rationnels d'une variété algébrique affine.

Si $(a_0:a_1:\dots :a_n)$ est un point de l'espace projectif ordinaire $k^{n+1}\setminus \{0\}/k^{*}$, l'idéal homogène de $k[T_0,\dots ,T_n]$ engendré par les $a_i{T}_j-a_j{T}_i$, $0\le i,j\le n$, est un idéal premier homogène appartenant à Proj $k[T_0,\dots ,T_n]$. On montre que cette association établit une bijection entre $k^{n+1}\setminus \{0\}/k^{*}$ et l'ensemble des points rationnels de l'espace projectif $P^n$. On obtient alors une correspondance biunivoque entre les solutions homogènes d'un système d'équations polynomiales homogènes avec l'ensemble des points rationnels d'un variété projective.

Soit $f:X\to A^n$ un morphisme de Modèle:Mvar vers l'espace affine $A^n=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}k[T_1,\dots ,T_n]$. On a vu ci-dessus qu'il lui correspond un homomorphisme de Modèle:Mvar-algèbres $k[T_1,\dots ,T_n]\to O(X)$. Notons $f_i$ l'image de $T_i$. Pour tout point rationnel Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, notons $f_i(x)$ l'image de $f_i\in O(X)$dans le corps résiduel $k(x)=k$. Alors :

• Proposition. Pour tout point rationnel Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, l'image $f(x)$ est le point rationnel de $A^n$ qui s'identifie à $(f_1(x),\dots ,f_n(x))$ dans $k^n$.

Corps particuliers

En géométrie algébrique réelle, on étudie les points réels $X(ℝ)$ d'une variété algébrique définie sur $ℝ$.

En géométrie algébrique complexe, on étudie surtout les points complexes $X(ℂ)$ d'une variété algébrique définie sur $ℂ$.

En géométrie arithmétique, le centre d'intérêt porte sur les points rationnels $X(K)$ d'une variété algébrique définie sur un corps de nombres ou un corps fini Modèle:Mvar.

Points à valeurs dans une extension

Soit Modèle:Mvar une variété algébrique sur un corps k. On fixe une clôture algébrique $\overline{k}$ de k. D'une certaine manière, les points de Modèle:Mvar peuvent être vus comme des (classes de conjugaison sous l'action du groupe de Galois absolu ${\mathrm{\Gamma }}_k$ de Modèle:Mvar) points de Modèle:Mvar à coordonnées dans $\overline{k}$.

En effet, localement Modèle:Mvar est une variété affine égale à $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}(k[T_1,\dots ,T_n]/I)$. L'ensemble algébrique

$X(\overline{k}):=\{(a_1,\dots ,a_n)\in {\overline{k}}^n\mid P(a_1,\dots ,a_n)=0,\mathrm{\forall }P\in I\}$

possède une application canonique $X(\overline{k})\to X$ qui à $(a_1,\dots ,a_n)$ associe l'idéal maximal

$((T_1-a_1,\dots ,T_n-a_n)\overline{k}[T_1,\dots ,T_n]\cap k[T_1,\dots ,T_n])/I.$

Cette application est surjective, de sorte que tout point de Modèle:Mvar peut être vu comme un point (non unique) de $X(\overline{k})$. Le groupe de Galois ${\mathrm{\Gamma }}_k$ opère sur $X(\overline{k})\subseteq {\overline{k}}^n$ composante par composante, et les points de Modèle:Mvar s'identifient alors aux orbites de cette action.

Si Modèle:Mvar est une sous-extension de $\overline{k}$, un point $(a_1,\dots ,a_n)\in X(\overline{k})$ avec les $a_i\in K$ est appelé un Modèle:Mvar-point de Modèle:Mvar ou un point de Modèle:Mvar à valeurs dans Modèle:Mvar (noter cependant que ce n'est pas vraiment un point de Modèle:Mvar). L'ensemble de ces points est noté $X(K)$. Lorsque $K=k$, on retrouve la notion de points rationnels.

Si $K/k$ est galoisienne de groupe de Galois Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar opère sur $X(K)$ coordonnée par coordonnée. L'ensemble des orbites $GX(K)$ s'identifie à l'ensemble des points Modèle:Mvar de Modèle:Mvar de corps résiduel $k(x)\subseteq K$.

Sur la terminologie

Modèle:Section à sourcer La définition du terme variété algébrique varie suivant les auteurs. Celui présenté est le plus large possible. Traditionnellement, il désigne une variété algébrique intègre quasi-projective (c'est-à-dire plongée dans un produit d'espaces projectifs) sur un corps algébriquement clos. Plus tard, André Weil a introduit, dans son livre Foundations of algebraic geometry, les variétés algébriques abstraites (non plongées) dans le but de construire algébriquement des jacobiennes des courbes algébriques. Puis les variétés algébriques réduites (c'est-à-dire que les anneaux de fonctions régulières sont réduits) mais non-nécessairement irréductibles ont été admises. On note qu'un ensemble aussi simple que la réunion de deux droites distinctes dans le plan affine n'est pas irréductible, mais est tout à fait digne d'intérêt. Les variétés avec des nilpotents sont apparues avec la nécessité de considérer les nombres duaux (dans la théorie de la déformation par exemple). Enfin, pour les besoins de la théorie des nombres, on a admis des corps de base non-nécessairement algébriquement clos, par exemple des corps finis, sur lesquels ont été énoncées les conjectures de Weil. La théorie a culminé avec le langage des schémas d'Alexander Grothendieck, une variété algébrique est alors un schéma de type fini sur un corps. Cependant, les différents usages du terme variété algébrique subsistent toujours.

Voir aussi

Bibliographie

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, édition 1971, Chapitre I, appendice