Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Modèle:Langue (signifiant "théorème des zéros" en allemand ou plus littéralement "théorème du lieu des zéros"), est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Énoncés

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub]. Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.

Modèle:Démonstration/débutProcédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons-nous une K-algèbre A engendrée par n + 1 éléments $x_0,x_1,...,x_n$ qui soit un corps.

• A est engendrée par $x_1,...,x_n$ sur $K(x_0)$, corps des fractions de $K[x_0]$ inclus dans le corps A. Par hypothèse de récurrence, les $x_i,i>0$, sont annulés par des polynômes unitaires $P_i$ à coefficients dans $K(x_0)$ et il reste à voir que $x_0$ est algébrique sur K.
• Notant $f\in K[x_0]$ le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des $P_i$, les $x_i$ sont entiers sur le localisé $K[x_0{]}_f$, donc A est entier sur $K[x_0{]}_f$.
• Si $x_0$ était transcendant sur K, alors $K[x_0{]}_f$ serait intégralement clos donc, d'après le point précédent, égal à $K(x_0)$, ce qui est absurde. Finalement, $x_0$ est bien algébrique sur K.

Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates.

On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, Modèle:C.-à-d. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Théorème 2 (Modèle:Langue faible). Supposons que $K$ est algébriquement clos. Alors la fonction

$\begin{array}{cccc}\varphi :& K^n& \to & \mathrm{Spm}K[X_1,\dots ,X_n]\\ & (a_1,\dots ,a_n)& \mapsto & (X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)\end{array}$

est une bijection, où $(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$ désigne l'idéal engendré par les $X_i-a_i$.

Autrement dit, un point de $K^n$ s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à $n$ indéterminées sur $K$ quand $K$ est algébriquement clos.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre $I$ de K[X₁,…,X_n], il existe un point de Kⁿ racine de tout élément de $I$.

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X² + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Théorème 4. Soit $I$ un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical Modèle:Racine de $I$ est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant $I$.

Si $P$ est un polynôme appartenant à K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub], les zéros de $P$ dans KModèle:Exp sont les points $(a_1,\dots ,a_n)\in K^n$ tels que $P(a_1,\dots ,a_n)=0$.

Corollaire (Modèle:Langue fort). Supposons K algébriquement clos. Soient $I$ un idéal de K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub] et $Z(I)$ l'ensemble des zéros communs des polynômes de $I$. Si $f$ est un polynôme dans K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub] qui s'annule sur $Z(I)$, alors une puissance de $f$ appartient à $I$.

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :

• Tout idéal maximal $M$ de K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub] (K non nécessairement clos) est engendré par $n$ polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub] ne peut être engendré par strictement moins que $n$ éléments.

Théorème de Bézout

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

• Soit K un corps algébriquement clos, soient $f_0,\dots ,f_m\in K[X_1,\dots ,X_n]$ des polynômes sans zéros communs. Alors il existe $g_0,\dots ,g_m\in K[X_1,\dots ,X_n]$ vérifiant l'identité de Bézout

$f_0{g}_0+\dots +f_m{g}_m=1.$

L'Modèle:Lien montre que ce cas particulier du Modèle:Langue fort implique le cas général. En effet si, dans K[XModèle:Sub,…,XModèle:Sub], $I$ est l'idéal engendré par $f_1,\dots ,f_m$ et $f$ est un polynôme qui s'annule sur $Z(I)$, on considère l'idéal de K[XModèle:Sub,XModèle:Sub,…,XModèle:Sub] engendré par $f_1,\dots ,f_m$ et par le polynôme $1-f{X}_0$. Cet idéal n'a pas de zéros communs dans KModèle:Exp. Donc il existe $g_0,\dots ,g_m\in K[X_0,\dots ,X_n]$ tels que l'on ait

$(1-f{X}_0)g_0+f_1{g}_1+\dots +f_m{g}_m=1.$

En remplaçant dans cette identité $X_0$ par $1/f$, et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable $N$ de $f$, on voit que cette puissance de $f$ appartient à $I$. De plus, on peut majorer $N$ par le maximum des degrés totaux de $g_1,\dots ,g_m$.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Lang1, chap. X, § 2
• Modèle:Ouvrage (sur un corps de base infini)

Voir aussi

Articles connexes

• Lemme de normalisation de Noether
• Nullstellensatz combinatoire
• Anneau de Goldman
• Lemme d'Artin-Tate