Indépendance algébrique

En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble de nombres, sur un corps commutatif, décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans ce corps.

Définition

Soient L un corps commutatif, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement libre sur K, ou que ses éléments sont algébriquement indépendants sur K si, pour tout suite finie (sModèle:Ind, … , sModèle:Ind) d'éléments distincts de S et tout polynôme non nul P(XModèle:Ind, … , XModèle:Ind) à coefficients dans K on a P(sModèle:Ind, … , sModèle:Ind) ≠ 0.

Cas particulier

• Cas particulier K = $\mathbb{Q}$ et L = $ℂ$

Définition : $u,v\in {ℂ}^{*}$

$\mathbb{Q}(u,v)=\{x=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)}P,Qnonnuls\in \bar{\mathbb{Q}}[X,Y]avecQ(u,v)\ne 0\}$

$\mathbb{Q}(u,v)$ est le plus petit corps de $ℂ$ contenant $\mathbb{Q}$ et u,v .

Soit $\alpha \in {ℂ}^{*}$ on dit que $\alpha$ est algébrique sur $T=\mathbb{Q}(u,v)$ s' il existe un polynome non-nul $P\in T[X]$ tel que

$P(\alpha )=0$

$\sum a_k{\alpha }^k=0$

$\sum \frac{P_k(u,v)}{Q_k(u,v)}{\alpha }^k=0avec{Q}_k(u,v)\ne 0$

En particulier  :

${\alpha }^k=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)}$

où $k\in \mathbb{N},P,Qnonnuls\in \bar{\mathbb{Q}}[X,Y]avecQ(u,v)\ne 0$

Définition degré de transcendant (sur Q) :

$Deg\mathbb{Q}({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_d)$ = Le cardinal d'une plus grande famille algébriquement libre

Théorème :

$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_d\}$ algébriquement indépendants $\iff$

$Deg\mathbb{Q}({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_d)=d$

Propriété :

{$\alpha ,\beta$} algébriquement indépendants et

${\alpha }^k=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)}$

${\beta }^m=\frac{S(u,v)}{T(u,v)}$

$P,Q,S,Tnonnuls\in \bar{\mathbb{Q}}[X,Y]avecQ(u,v)\ne 0,T(u,v)\ne 0$

alors

{$u,v$} algébriquement indépendants.

En effet {$\alpha ,\beta$} algébriquement indépendants $\Rightarrow$

$Deg\mathbb{Q}({\alpha }_{,}\beta )=2$

{$\alpha ,\beta$} algébriques sur $\mathbb{Q}(u,v)$ $\Rightarrow$

$Deg\mathbb{Q}({\alpha }_{,}\beta )=Deg\mathbb{Q}(u,v)=2$ $\Rightarrow$

{u,v} algébriquement indépendants.

ex:

1) à partir du théorème de Chudnovsky on montre que

$\alpha =\frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(1/4)}{\sqrt{8\pi }}$

{$\alpha ,\pi$} algébriquement indépendants.

comme

${\alpha }^2=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^4(1/4)}{8\pi }=\frac{P(\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi )}{Q(\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi )}$

on en déduit que

{$\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi$} algébriquement indépendants.

2) On montre que

$\alpha =\frac{{\mathrm{\Gamma }}^3(1/3)}{2^{4/3}\pi }$

{$\alpha ,\pi$} algébriquement indépendants.

comme

$\alpha =\frac{{\mathrm{\Gamma }}^3(1/3)}{2^{4/3}\pi }=\frac{P(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi )}{Q(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi )}$

on en déduit que

{$\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi$} algébriquement indépendants.

3) à partir du théorème Nesterenko on montre que

$\alpha =\frac{3{\mathrm{\Gamma }}^8(1/4)}{8^2{\pi }^6}$

{$\alpha ,3/\pi ,e^{-2\pi }$} algébriquement indépendants.

comme

$\alpha =\frac{3{\mathrm{\Gamma }}^8(1/4)}{8^2{\pi }^6}=\frac{P(\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi ,e^{\pi })}{Q(\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi ,e^{\pi })}$

$e^{-2\pi }=\frac{1}{(e^{\pi }{)}^2}=\frac{P(\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi ,e^{\pi })}{Q(\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi ,e^{\pi })}$

on en déduit que

{$\mathrm{\Gamma }(1/4),\pi ,e^{\pi }$} algébriquement indépendants.

4) à partir du théorème Nesterenko on montre que

$\alpha =\frac{27{\mathrm{\Gamma }}^{18}(1/3)}{2^9{\pi }^{12}}$

{$\alpha ,\frac{2\sqrt{3}}{\pi },-e^{-\pi \sqrt{3}}$} algébriquement indépendants.

comme

$\alpha =\frac{27{\mathrm{\Gamma }}^{18}(1/3)}{2^9{\pi }^{12}}=\frac{P(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi ,e^{\pi \sqrt{3}})}{Q(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi ,e^{\pi \sqrt{3}})}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\pi }=\frac{P(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi ,e^{\pi \sqrt{3}})}{Q(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi ,e^{\pi \sqrt{3}})}$

$-e^{-\pi \sqrt{3}}=\frac{-1}{e^{\pi \sqrt{3}}}=\frac{P(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi ,e^{\pi \sqrt{3}})}{Q(\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi ,e^{\pi \sqrt{3}})}$

on en déduit que

{$\mathrm{\Gamma }(1/3),\pi ,e^{\pi \sqrt{3}}$} algébriquement indépendants.

d'où

{$\pi ,e^{\pi \sqrt{3}}$} algébriquement indépendants.

Exemples

Un singleton {s} est algébriquement libre sur K si et seulement si son élément s est transcendant sur K.

Si S est algébriquement libre sur K alors il l'est sur tout sous-corps de K.

Si S est algébriquement libre sur K alors toute partie de S l'est aussi. Plus précisément, si V et W sont deux parties de L disjointes, alors leur réunion V⋃W est algébriquement libre sur K si et seulement si V est algébriquement libre sur K et W est algébriquement libre sur le sous-corps K(V) de L.

En particulier, si S est algébriquement libre sur K alors tous ses éléments sont transcendants sur K, mais la réciproque est clairement fausse : par exemple le sous-ensemble Modèle:Math du corps ℝ des nombres réels n'est pas algébriquement libre sur le corps ℚ des nombres rationnels, puisque le polynôme non nul à coefficients rationnels P(X, Y) = XY – 1 vérifie P(Modèle:Math) = 0.

Dans le corps de fractions rationnelles K(XModèle:Ind, … , XModèle:Ind), les indéterminées XModèle:Ind, … , XModèle:Ind sont algébriquement indépendantes sur K ; les polynômes symétriques élémentaires le sont aussi.

Une partie K-algébriquement libre maximale de L s'appelle une base de transcendance de L sur K, et le cardinal d'une telle base est appelé le degré de transcendance de l'extension.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement libres sur ℚ.

On ne sait pas si l'ensemble Modèle:Math est algébriquement libre sur ℚ (on ne sait même pas si Modèle:Math est irrationnel).

Nesterenko a prouvé en 1996 un théorème dont il résulte par exemple que Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math pour tout [[Entier naturel|entier Modèle:Math]], sont algébriquement libres sur ℚModèle:, (on savait déjà que Modèle:Math et Modèle:Math sont algébriquement libresModèle:,, et donc aussi Modèle:Math, puisqu'on déduit des relations fonctionnelles sur la fonction Gamma que Modèle:Math).

On sait peu de choses sur les valeurs aux entiers impairs de la fonction zêta de Riemann, mais il est conjecturéModèle:,Modèle:, que les nombres Modèle:Math sont algébriquement indépendants sur ℚ.