Test de condensation de Cauchy

Portrait d'Augustin Louis Cauchy

En analyse mathématique, le test de condensation de Cauchy, démontré par Augustin Louis Cauchy, est un critère de convergence pour les séries : pour toute suite réelle positive décroissante Modèle:Math, on a

$S:=\sum _{n\ge 1}{a}_n<+\mathrm{\infty }\text{ si et seulement si }T:=\sum _{k\ge 0}{2}^k{a}_{2^k}<+\mathrm{\infty }$

et plus précisément

$S\le T\le 2S$.

Exemples d'applications

Pour tout réel positif Modèle:Math,

• la série de RiemannModèle:Retraita même comportement que sa « série condensée »Modèle:RetraitCette dernière est une série géométrique, qui converge si et seulement si Modèle:Math.
  Pour Modèle:Math, c'est la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique ;
• la série de BertrandModèle:Retraitconverge si et seulement si sa « condensée »Modèle:Retraitconverge, c'est-à-dire (d'après l'étude de la série de Riemann) si Modèle:Math ;
• il en est de même pour la sérieModèle:Retraitetc.

Généralisation

On peut remplacer les puissances de 2 par celles de n'importe quel entier strictement supérieur à 1. Plus généralement, Modèle:Lien a montré en 1909 que pour toute suite réelle positive décroissante Modèle:Math, les séries

$\sum a_n,\sum (n_{k+1}-n_k)a_{n_k},\sum (n_k-n_{k-1})a_{n_k}\mathrm{e}\mathrm{t}\sum N_k{a}_{n_k}$

sont simultanément convergentes ou divergentes, pour toutes suites d'entiers positifs Modèle:Math et Modèle:Math telles que Modèle:Math soit strictement croissante et Modèle:Math et Modèle:Math soient bornées. (Schlömilch avait établi le cas particulier Modèle:Math, Modèle:Math.)