Théorème de Buchdahl

Le théorème de Buchdahl (Modèle:En anglais) est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale $C$ d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : $C=\frac{GM}{R{c}^2}=\frac{4}{9}$, où $M$ et $R$ sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où $G$ et $c$ sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le videModèle:Sfn. Le rayon $R=\frac{9GM}{4c^2}$ est dit rayon de BuchdahlModèle:Sfn. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitéeModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart (Modèle:Langue) de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est $C=\frac{1}{2}$Modèle:Sfn.

Historique

En Modèle:Date, Karl Schwarzschild (Modèle:Date--Modèle:Date-) publie successivementModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert EinsteinModèle:Sfn. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoileModèle:Sfn ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ciModèle:Sfn. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à Modèle:Formule fois son rayon de SchwarzschildModèle:Sfn.

L'éponyme du théorème de BuchdahlModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn est Modèle:Lien (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en Modèle:DateModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Désignations alternatives

Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Modèle:Langue) et comme la limite de Buchdahl (Modèle:Langue).

Expressions

L'inégalité s'écrit :

$\frac{2GM}{c^{2}R}<\frac{8}{9}$

ou

$\frac{GM}{c^{2}R}<\frac{4}{9}$,

avec :

• $M$, la masse de l'objet ;
• $R$, le rayon de l'objet ;
• $G$, la constante gravitationnelle ;
• $c$, la vitesse de la lumière dans le vide.

En unités géométriques, c'est-à-dire avec :

$c=G=1$,

l'inégalité s'écrit :

$\frac{2M}{R}<\frac{8}{9}$,

ou

$\frac{M}{R}<\frac{4}{9}$.

Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

Hypothèses

Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statiqueModèle:Sfn et à symétrique sphériqueModèle:Sfn ; son intérieur est décrit par un fluide parfaitModèle:Sfn de densité d'énergie $ϵ$ positiveModèle:Sfn et de pression $p$ positiveModèle:Sfn, et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale $r$Modèle:Sfn :

$ϵ\ge 0,p\ge 0,\frac{\mathrm{d}ϵ}{\mathrm{d}r}\le 0$Modèle:Sfn.

Extensions

Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologiqueModèle:Sfn. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensionsModèle:Sfn incluant une constante cosmologique non nulleModèle:Sfn. Il a été généralisé en gravitation en $f(R)$Modèle:Sfn.

Voir aussi

Bibliographie

Publications originales

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.

Études

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Chapitre
• Modèle:Article.
• Modèle:Article
• Modèle:Article

Cours d'enseignement supérieur

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage

Dictionnaires et encyclopédies

• Modèle:Chapitre
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Compacité (astronomie)