Surface minimale de Catalan

Surface minimale de Catalan.

En géométrie différentielle, une surface minimale de Catalan est une surface minimale qui a été étudiée par Eugène Charles Catalan en 1855.

La surface a pour équations paramétriques :

$\begin{array}{cc}x(u,v)& =a(2u-\sin (2u)\cosh (2v))\\ y(u,v)& =a(1-\cos (2u)\cosh (2v))\\ z(u,v)& =4a\sin (u)\sinh (v).\end{array}$

Si l'on pose $r=\sinh (v)$ dans la paramétrisation ci-dessus, on obtient :

$\begin{array}{cc}x(u,v)& =a(2u-(1+2r^2)\sin (2u))\\ y(u,v)& =a(1-(1+2r^2)\cos (2u))\\ z(u,v)& =4ar\sin (u).\end{array}$

• Les lignes avec le paramètre $r=r_0$ fixé, se projettent sur le plan $xOy$ en des trochoïdes.
• Les lignes avec le paramètre $u=u_0$ fixé, sont des paraboles.
• La section de la surface par le plan $xOy$ (c'est-à-dire $r=0$) est une cycloïde.

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