Surface minimale de Catalan

De testwiki

Aller à la navigation Aller à la recherche

Modèle:Confusion

Surface minimale de Catalan.

En géométrie différentielle, une surface minimale de Catalan est une surface minimale qui a été étudiée par Eugène Charles Catalan en 1855^[1].

La surface a pour équations paramétriques^[2] :

\begin{matrix} x (u, v) & = a (2 u - \sin (2 u) \cosh (2 v)) \\ y (u, v) & = a (1 - \cos (2 u) \cosh (2 v)) \\ z (u, v) & = 4 a \sin (u) \sinh (v) . \end{matrix}

Si l'on pose $r = \sinh (v)$ dans la paramétrisation ci-dessus, on obtient :

\begin{matrix} x (u, v) & = a (2 u - (1 + 2 r^{2}) \sin (2 u)) \\ y (u, v) & = a (1 - (1 + 2 r^{2}) \cos (2 u)) \\ z (u, v) & = 4 a r \sin (u) . \end{matrix}

Les lignes avec le paramètre $r = r_{0}$ fixé, se projettent sur le plan $x O y$ en des trochoïdes.
Les lignes avec le paramètre $u = u_{0}$ fixé, sont des paraboles.
La section de la surface par le plan $x O y$ (c'est-à-dire $r = 0$ ) est une cycloïde.

Liens externes

Bibliographie

Modèle:Ouvrage

Références

Modèle:Références

Modèle:Autres projets Modèle:Portail

↑ E. Catalan, « Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires », C. r. hebd. séances Acad. sci., vol. 41, 1855, Modèle:P. et 1155 Modèle:Lire en ligne.
↑ Modèle:En Alfred Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Boca Raton, CRC Press, Modèle:2e éd., 1997, Modèle:P. (« Catalan's Minimal Surface »).

Récupérée de "https://fr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Surface_minimale_de_Catalan&oldid=15408"

Catégories :