Vitesse quadratique moyenne

Modèle:Ébauche La vitesse quadratique moyenne est la moyenne quadratique des vitesses d'un ensemble de particules (molécules, ionsModèle:Etc.). Elle s'obtient en calculant la racine carrée de la moyenne des carrés des vitesses :

$\hat{v}=\sqrt{⟨v^2⟩}$

Application aux gaz parfaits

Selon la théorie cinétique des gaz, la vitesse des molécules d'un gaz parfait suit la loi de distribution des vitesses de Maxwell, dont la densité de probabilité est :

$f(v)={\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm{B}}T}\right)}^{3/2}4\pi v^2{\mathrm{e}}^{-\frac{m{v}^2}{2k_{\text{B}}T}}$

avec :

• $m$ la masse d'une molécule ;
• $k_{\text{B}}$ la constante de Boltzmann ;
• $T$ la température absolue.

On a par conséquent la moyenne des carrés des vitesses :

$⟨v^2⟩=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^{2}f(v)\mathrm{d}v=\frac{3k_{\text{B}}T}{m}$

et finalement la vitesse quadratique moyenne :

$\hat{v}=\sqrt{\frac{3k_{\text{B}}T}{m}}$

ou, de façon équivalente :

$\hat{v}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

avec :

• $N_{\text{A}}$ le nombre d'Avogadro ;
• $R=k_{\text{B}}{N}_{\text{A}}$ la constante universelle des gaz parfaits ;
• $M=m{N}_{\text{A}}$ la masse molaire.

Par exemple pour l'air (Modèle:Nobr) à Modèle:Unité, on obtient Modèle:Nobr.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage.