Constante des nombres premiers

Modèle:Ébauche En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel $\rho$, compris entre 0 et 1, dont le $n$-ième chiffre binaire après la virgule est 1 si $n$ est premier et 0 si $n$ est composé ou égal à 1.

Description

De façon plus rigoureuse, le développement binaire de $\rho$ correspond à la fonction caractéristique ${\chi }_{\mathbb{P}}$ de l'ensemble $\mathbb{P}$ des nombres premiers :

$\rho =\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{2^p}=\sum _{n\in {\mathbb{N}}^{*}}\frac{{\chi }_{\mathbb{P}}(n)}{2^n}.$

Le début du développement décimal de ρ est : $0,4146825098$. Le début de son développement binaire est : $0,0110101000$.

On démontre par l'absurde que $\rho$ est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.

Notons $r_k$ le $k$-ième chiffre de ce développement binaire de $\rho$. Il existe donc deux entiers $k>0$ et $N$ tels que $r_n=r_{n+k}$ pour tout $n\ge N$.

Pour $k$ et $N$ comme ci-dessus, choisissons un nombre premier $p\ge N$. Alors, $1=r_p=r_{p+k}=r_{p+2k}=\dots =r_{p+pk}$, ce qui est absurde puisque $p+pk=p(k+1)$ est composé.

Bibliographie

• Modèle:MathWorld