Lemme de Thue

En arithmétique modulaire, le lemme de Thue établit que tout [[Congruence sur les entiers|entier modulo Modèle:Math]] peut être représenté par une « fraction modulaire » dont le numérateur et le dénominateur sont, en valeur absolue, majorés par la racine carrée de Modèle:Math. La première démonstration, attribuée à Axel Thue^[1], utilise le principe des tiroirs^[2]. Appliqué à un entier Modèle:Math modulo lequel –1 est un carré (en particulier à un [[Loi de réciprocité quadratique#Premier énoncé|nombre premier Modèle:Math congru à 1 modulo 4]]) et à un entier Modèle:Math tel que Modèle:Math, ce lemme fournit une expression de Modèle:Math comme somme de deux carrés premiers entre eux^[3].

Énoncé

Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux entiers. Modèle:Énoncé Shoup démontre cet énoncé dans le cas particulier où Modèle:Math et Modèle:Math sont entiers^[4], puis l'applique à Modèle:Math, pour Modèle:Math non carré^[5].

LeVeque préfère appliquer la variante suivante à Modèle:Math^[3] : pour tout réel Modèle:Math tel que $1 < X < m$ , il existe des entiers Modèle:Math et Modèle:Math tels que $a x \equiv y (\mod m), 1 \leq x < X et | y | \leq m / X$ ^[6]. Cette variante se déduit de l'énoncé ci-dessus, appliqué à un réel $Y > m / X$ suffisamment proche de $m / X$ .

Remarque: En général, la solution Modèle:Math dont ce lemme garantit l'existence n'est pas unique et le rationnel Modèle:Math lui-même ne l'est pas : par exemple, si Modèle:Math et Modèle:Math, on a deux solutions Modèle:Math.; Sous d'autres hypothèses^[7] — incompatibles cependant avec celles du lemme de Thue — l'éventuelle solution est unique.

Théorème de Brauer et Reynolds

Le lemme de Thue se généralise^[8] en remplaçant les deux inconnues $x, y$ par s inconnues $x_{1}, \dots, x_{s}$ et la congruence linéaire $a x \equiv y (\mod m)$ par le système homogène de r congruences associé à une matrice $A = (a_{i, j})$ à coefficients entiers à r lignes et s colonnes : Modèle:Énoncé

Modèle:Démonstration

Application aux sommes de deux carrés

Le lemme de Thue permet par exemple de démontrer la proposition suivante, utile dans le théorème des deux carrés^[3] : Modèle:Énoncé

Modèle:Démonstration

Réciproquement, si $m = u^{2} + v^{2}$ avec $u$ et $v$ premiers entre eux (donc premiers avec Modèle:Math) alors Modèle:Math est le [[résidu quadratique|carré modulo Modèle:Math]] de l'entier $a$ défini modulo Modèle:Math par $a u \equiv v (\mod m)$ .

Références

Modèle:Références

Articles connexes

Modèle:Portail

↑
En 1917 ou 1902 :
- Modèle:No A. Thue, « Et bevis for at lignigen AModèle:3 + BModèle:3 = СModèle:3 er remulig i hele fra nul forsk jellige tal A, B og С », Archiv. for Math. og Naturvid, vol. 34, Modèle:Numéro, 1917, selon Modèle:Article et Modèle:Ouvrage ;
- Modèle:Article, selon Modèle:Lien web.
↑ Modèle:Lien web.
↑ ^3,0 ^3,1 et ^3,2 Modèle:Harvsp, Modèle:Google Livres.
↑ Modèle:Ouvrage, theorem 2.33.
↑ Modèle:Harvsp, theorem 2.34.
↑ Dans la version de Modèle:Harvsp de ce lemme, l'hypothèse pourtant indispensable $X > 1$ est remplacée par $X > 0$ , et l'hypothèse additionnelle $a \equiv̸ 0 (\mod m)$ de LeVeque ne suffit pas à garantir la condition supplémentaire $y \neq 0$ qu'il énonce dans sa conclusion.
↑ Modèle:Harvsp.
↑ Modèle:Harvsp, transcrit dans Modèle:Harvsp, Modèle:Google Livres.

[1] En 1917 ou 1902 :
Modèle:No A. Thue, « Et bevis for at lignigen AModèle:3 + BModèle:3 = СModèle:3 er remulig i hele fra nul forsk jellige tal A, B og С », Archiv. for Math. og Naturvid, vol. 34, Modèle:Numéro, 1917, selon Modèle:Article et Modèle:Ouvrage ;

Modèle:Article, selon Modèle:Lien web.

[2] Modèle:No A. Thue, « Et bevis for at lignigen AModèle:3 + BModèle:3 = СModèle:3 er remulig i hele fra nul forsk jellige tal A, B og С », Archiv. for Math. og Naturvid, vol. 34, Modèle:Numéro, 1917, selon Modèle:Article et Modèle:Ouvrage ;

[3] Modèle:Article, selon Modèle:Lien web.

[2] Modèle:Lien web.

[Leveque182-3] 3,0 ^3,1 et ^3,2 Modèle:Harvsp, Modèle:Google Livres.

[4] Modèle:Ouvrage, theorem 2.33.

[5] Modèle:Harvsp, theorem 2.34.

[6] Dans la version de Modèle:Harvsp de ce lemme, l'hypothèse pourtant indispensable $X > 1$ est remplacée par $X > 0$ , et l'hypothèse additionnelle $a \equiv̸ 0 (\mod m)$ de LeVeque ne suffit pas à garantir la condition supplémentaire $y \neq 0$ qu'il énonce dans sa conclusion.

[7] Modèle:Harvsp.

[8] Modèle:Harvsp, transcrit dans Modèle:Harvsp, Modèle:Google Livres.

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Lemme de Thue

Sommaire

Énoncé

Théorème de Brauer et Reynolds

Application aux sommes de deux carrés

Références

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