Lemme de Siegel

En approximation diophantienne, le lemme de Siegel est un théorème d'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système d'équations linéaires homogène à coefficients entiers (relatifs) ayant strictement plus d'inconnues que d'équations. Il est d'usage courant dans les démonstrations de transcendance. Les solutions ainsi contrôlées sont obtenues à l'aide de Modèle:Lien. L'existence de ces polynômes avait été démontrée par Axel Thue grâce au principe des tiroirs de Dirichlet.

Énoncé

L'énoncé le plus simple est le suivant :

Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice à m lignes et n colonnes, dont les coefficients sont des entiers non tous nuls. Si n > m, alors le système

$\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{x}_j=0(i=1,\dots ,m)$

admet une solution $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{Z}}^n\setminus \{(0,\dots ,0)\}$ telle que

$\underset{i}{\max }|x_i|\le {(n\underset{i,j}{\max }|a_{i,j}|)}^{\frac{m}{n-m}}$.

Enrico Bombieri et Jeffrey Vaaler ont obtenu une majoration plus fine, par des techniques de géométrie des nombres.

Article connexe

Lemme de Thue