Chapeaux pointus

En mathématiques, les chapeaux pointus sont une dénomination regroupant les familles de fonctions continues, affines par morceaux, définies sur un segment permettant de donner des exemples de convergence simple non uniforme. Une famille de telles fonctions sur $[0:1]$ est donnée par exemple par :

$f_n:x\mapsto nx{\mathrm{X}}_{[0,\frac{1}{2n}]}+(1-nx){\mathrm{X}}_{]\frac{1}{2n},\frac{1}{n}]}$

ou

$g_n:x\mapsto n^{2}x{\mathrm{X}}_{[0,\frac{1}{2n}]}+n(1-nx){\mathrm{X}}_{]\frac{1}{2n},\frac{1}{n}]}$

Ces dernières forment également un contre-exemple classique au théorème de convergence dominée de Henri Lebesgue lorsqu'on oublie l'hypothèse de domination sur l'intervalle d'intégration, ici le segment [0,1].

Démonstration

Un calcul d'aire montre que l'intégrale sur $[0;1]$ de la fonction $g_n$ vaut $\frac{1}{4}$. La limite simple de ces fonctions est la fonction nulle. On en déduit que l'hypothèse de domination n'est pas satisfaite.

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:PDF Jean Feydy, Cours de culture mathématique Fondations, Analyse, Géométrie et Applications (Ulm 2017/2018). On trouve d'autres constructions.
• Modèle:PDF Laurent Desvilettes, Les Méthodes Mathématiques pour la Physique. Donne également des exemples de telles fonctions.

Articles connexes

• Chapeaux chinois
• Bosses glissantes