Chapeaux chinois

En mathématiques, les chapeaux chinois sont une dénomination regroupant les familles de fonctions continues, affines par morceaux, définies sur la demi-droite $[0:+\mathrm{\infty }[$ permettant de donner des exemples de convergence simple non uniforme. Une famille de telles fonctions sur ${ℝ}^{+}$ est donnée par exemple par :

$f_n:x\mapsto \frac{1}{n}x{\mathrm{X}}_{[0;n]}+\frac{1}{n}(2n-x){\mathrm{X}}_{]n;2n]}$

Ces dernières forment également un contre-exemple classique au théorème de convergence dominée de Henri Lebesgue lorsqu'on oublie l'hypothèse de domination sur l'intervalle d'intégration, ici la demi-droite ${ℝ}^{+}$. On trouve l'évocation de ces concepts chez Gustave Choquet mais également chez son élève, Jean-Louis Ovaert.

Démonstration

Un calcul d'aire montre que l'intégrale sur ${ℝ}^{+}$ de la fonction $f_n$ vaut $n$. La limite simple de ces fonctions est la fonction nulle. On en déduit que l'hypothèse de domination n'est pas satisfaite.

Voir aussi

Articles connexes

• Chapeaux pointus
• Bosses glissantes

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