Anneau des entiers

Modèle:Confusion En algèbre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir à partir de tout corps de nombres en considérant ses éléments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}$ est ${𝒪}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}$. Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres. La notion peut en fait être étendue à d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interprétation géométrique.

Définition

Modèle:Article détaillé Soit Modèle:Mvar un corps de nombres. Un élément de Modèle:Mvar est dit entier s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb{Z}$. L'ensemble des éléments entiers de Modèle:Mvar est un anneau, noté ${𝒪}_K$ et appelé l'anneau des entiers de Modèle:Mvar.

Une définition équivalente est que ${𝒪}_K$ est l'unique ordre maximal de Modèle:Mvar.

Propriétés

• L'anneau ${𝒪}_K$ est un ordre, en particulier un $\mathbb{Z}$-module de type fini sans torsion, possédant donc une base, appelée base intégrale. Si $\{b_1,\dots ,b_n\}$ est une telle base, le nombre Modèle:Mvar est le degré de l'extension $K/\mathbb{Q}$.
• L'anneau ${𝒪}_K$ est un anneau de Dedekind, et possède donc la propriété de factorisation unique des idéaux.
• Les unités ${𝒪}_K^{\times }$ forment un $\mathbb{Z}$-module de type fini par le théorème de Dirichlet.
• Le sous-groupe de torsion de ${𝒪}_K^{\times }$ est constitué des racines de l'unité.
• Si $K/F$ est une extension finie d'un corps de nombres, alors la fermeture intégrale de ${𝒪}_F$ dans Modèle:Mvar coïncide avec ${𝒪}_K$.

Exemples

• Soit Modèle:Mvar un entier sans facteur carré et soit $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ (qui est un corps quadratique si Modèle:Math). Alors, Modèle:Mvar est un anneau d'entiers quadratiques, égal à
  • $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ si $d\equiv ̸1mod4$ (pour Modèle:Math, c'est l'anneau des entiers de Gauss) ;
  • $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]$ si $d\equiv 1mod4$ (en particulier, ${𝒪}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}$).
• Plus généralement, soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux entiers sans facteur carré, $k=\frac{mn}{(m\wedge n{)}^2}$, et
  $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m},\sqrt{n})=\mathbb{Q}(\sqrt{m},\sqrt{k})=\mathbb{Q}(\sqrt{n},\sqrt{k})$ (qui est un Modèle:Lien si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont différents de 1 et distincts). Alors,

${𝒪}_K=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}[\sqrt{m},\sqrt{n},\frac{\sqrt{n}+\sqrt{k}}{2}]& \text{si }m\equiv 3\text{ et }n\equiv k\equiv 2mod4\\ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{m}}{2},\sqrt{n},\frac{\sqrt{n}+\sqrt{k}}{2}]& \text{si }m\equiv 1\text{ et }n\equiv k\equiv ̸1mod4\\ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{m}}{2},\frac{1+\sqrt{n}}{2},\frac{(1+\sqrt{m})(1+\sqrt{k})}{4}]& \text{si }m\equiv n\equiv k\equiv 1mod4.\end{array}$.

• L'anneau des entiers du Modèle:Mvar-ième corps cyclotomique $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ est $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$, et celui de son sous-corps réel maximal $\mathbb{Q}({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1})$ est $\mathbb{Z}[{\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1}]$.

Généralisation

Si K est un corps local non archimédien, l'anneau OModèle:Ind de ses entiers (défini de la même façon que pour un corps de nombres) est égal à sa boule unité fermée. Par exemple :

• pour tout nombre premier Modèle:Mvar, l'anneau des entiers du [[Corps de nombres p-adiques|corps ${\mathbb{Q}}_p$ des nombres Modèle:Mvar-adiques]] est l'anneau ${\mathbb{Z}}_p$ des [[Nombre p-adique|entiers Modèle:Mvar-adiques]] ;
• l'anneau des entiers du corps ${𝔽}_q((t))$ des séries formelles de Laurent à coefficients dans le corps fini ${𝔽}_q$ est l'anneau ${𝔽}_q[[t]]$ des séries formelles à coefficients dans ${𝔽}_q$ ;
• si Modèle:Mvar est un complété formel d'un corps de nombres Modèle:Mvar, alors ${𝒪}_K$ est le complété formel de ${𝒪}_F$.