Équation de Ramanujan-Nagell

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, l'équation de Ramanujan-Nagell est une équation liant un carré parfait comme étant une puissance de deux moins sept. C'est un exemple d'équation diophantienne exponentielle, une équation à résoudre en entiers où l'une des variables apparaît comme un exposant. Celle-ci est nommée d'après Srinivasa Ramanujan, qui a conjecturé qu'il n'a que cinq solutions entières, et d'après Trygve Nagell, qui a prouvé la conjecture.

Équation et solution

L'équation est

$2^n-7=x^2$

et les seules solutions en entiers naturels n et x sont n = 3, 4, 5, 7 et 15.

Cette solution a été conjecturée en 1913 par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan, proposée indépendamment en 1943 par le mathématicien norvégien Wilhelm Ljunggren, et prouvée en 1948 par le mathématicien norvégien Trygve NagellModèle:,. Les valeurs de x correspondant aux valeurs de n ci-dessus sont respectivement :

x = 1, 3, 5, 11 et 181.

Nombres triangulaires de Mersenne

Le problème de trouver tous les entiers de la forme 2^b − 1 (nombre de Mersenne) qui sont des nombres triangulaires est équivalent à l'équation de Ramanujan-Nagell :

$\begin{array}{cc}{2}^b-1=\frac{y(y+1)}{2}⟺& 2^{b+3}-8=4y^2+4y\\ ⟺& 2^{b+3}-7=(2y+1{)}^2.\end{array}$

Les valeurs de b dans cette équation sont juste celles de n − 3 dans l'équation de Ramanujan-Nagell, et les nombres de Mersenne triangulaires correspondants (également appelés nombres de Ramanujan-Nagell) sont :

$\frac{y(y+1)}{2}=\frac{(x-1)(x+1)}{8}$

pour x = 1, 3, 5, 11 et 181, donnant 0, 1, 3, 15 et 4095 (Modèle:OEIS).

Équations de type Ramanujan-Nagell

Une équation de la forme

$x^2+D=A{B}^n$

pour D, A , B fixés et d'inconnues x, n est dit de type Ramanujan-Nagell. Un résultat de Carl Siegel implique que le nombre de solutions dans chaque cas est fini. L'équation avec A = 1, B = 2 a au plus deux solutions, sauf si D = 7. Il y a une infinité de valeurs de D pour lesquelles il n'existe que deux solutions.

Équations de type Lebesgue-Nagell

Une équation de la forme

$x^2+D=A{y}^n$

pour D, A fixés et d'inconnues x, y, n est dite de type Lebesgue-Nagell. Ces équations sont nommées d'après Victor-Amédée Lebesgue, qui a prouvé que l'équation

$x^2+1=y^n$

n'a pas de solutions non trivales lorsque n est un nombre premierModèle:,.

Les résultats de Shorey et Tijdeman impliquent que le nombre de solutions dans chaque cas est fini. Bugeaud, Mignotte et Siksek ont résolu les équations de ce type avec A = 1 et 1 ≤ D ≤ 100. En particulier, la généralisation suivante de l'équation de Ramanujan-Nagell

$y^n-7=x^2$

a des solutions entières seulement si x = 1, 3, 5, 11 ou 181.

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture de Catalan
• Théorème de Tijdeman

Liens externes

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