Théorème de Tijdeman
En théorie des nombres, le théorème de Tijdeman affirme qu'il y a au plus un nombre fini de puissances consécutives. Autrement dit, l'ensemble des solutions entières x, y, n, m de l'équation diophantienne exponentielle
- ,
pour des exposants n et m strictement supérieurs à 1, est fini[1]Modèle:,[2].
Histoire
Le théorème a été prouvé par le théoricien des nombres néerlandais Robert Tijdeman en 1976[3], en utilisant le théorème de Baker en théorie des nombres transcendants pour donner un majorant effectif de x, y, m, n. Michel Langevin a calculé une valeur de exp exp exp exp 730 comme majorant pour Modèle:Math[4]Modèle:,[5].
Le théorème de Tijdeman a fourni une forte impulsion pour la preuve de la conjecture de Catalan, finalement fournie en 2002 par Preda Mihăilescu[6]Modèle:,[7]. Le théorème de Mihăilescu établit que l'ensemble dont Tijdeman avait prouvé la finitude n'est qu'un singleton, la seule solution étant 3Modèle:2 = 2Modèle:3 + 1.
Problème de Tijdeman généralisé
Que les puissances soient consécutives est essentiel dans la preuve de Tijdeman ; si l'on remplace la différence de 1 par k, et qu'on demande le nombre de solutions de
avec n et m strictement supérieurs à 1, on obtient un problème non résolu[8], appelé le problème de Tijdeman généralisé. Il est conjecturé que pour tout entier k > 0, cet ensemble est également fini. Cela découlerait d'une conjecture encore plus forte, celle de Pillai (1931), prévoyant que pour k, A et B > 0 fixés, l'équation n'a qu'un nombre fini de solutions. Une conjecture encore plus forte que celle de Pillai est la conjecture abc[9].