Opérateur de Hutchinson

En mathématiques, dans l'étude des fractales, un opérateur d' Hutchinson est défini à partir d'un ensemble de contractions, appelé système de fonctions itérées.

Définition

Soit $\{f_i:X\to X|1\le i\le N\}$ un ensemble de contractions d'un espace métrique complet $X$ dans lui-même. L'opérateur $H$ est défini sur des sous-ensembles compacts $S\subset X$ comme

$H(S)=\bigcup _{i=1}^N{f}_i(S).$

itération d'un opérateur d'Hutchinson à partir d'un carré S₀.

Une question clé est de décrire les attracteurs $A=H(A)$ de cet opérateur, qui sont des ensembles compacts. Un moyen de génération d'un tel ensemble est de commencer avec un premier ensemble compact $S_0\subset X$ (qui peut être un point tout simplement) et d'itérer $H$ comme suit :

$S_{n+1}=H(S_n)=\bigcup _{i=1}^N{f}_i(S_n)$

et en prenant la limite, l'itération converge vers l'attracteur

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n.$

Propriétés

Hutchinson a montré en 1981, l'existence et l'unicité de l'attracteur $A$.